Zeigen Sie: (1+1/n)^n < e

Question

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Mir ist bewusst, dass es bessere Möglichkeiten gibt, diese Aufgabe zulösen, aber ich wollte mal diesen Ansatz verwenden.

Zeigen Sie: (1+1/n)^n < e , n >=1

Ich wollte diese Aufgabe mit der vollständigen Induktion lösen und habe  folgendes gemacht.

Induktionsanfang ... Induktionsannahme.... Induktionsschluss:

(1+1/(n+1))^(n+1) = .......< e * (einen Term der von n abhängig ist und positiv ist)

Meine Frage ist jetzt ich musste ja zeigen, dass gilt : (1+1/n)^n < e für alle n>=1. Jetzt habe ich am Ende aber raus < e * Term.

Frage : Ist dies trotzdem richtig, obwohl nicht explizit < e steht, sondern noch mit einem Term?

Danke.

Comments

(einen Term der von n abhängig ist und positiv ist)

wenn dieser Term (für alle n≥1)  ≤ 1 ist, ist alles in Ordnung

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Ich würde ja meinen Rechenweg aufschreiben, aber man kann sich vorstellen, dass nicht gerade was schönes rauskommen wird, wenn man versucht (1+1/n) zwangsweise abzuspalten.

Meine Ende sieht so aus:

< e * ((n+1)/(n) + n/(n+1)^2))^n * (1+(1/n+1))

Answer 1

Hallo

darfst du wissen, dass e der GW der Folge ist? wie sonst willst du e definieren? dann musst du zeigen dass die Folge monoton wächst , denn dann bleibt sie ja immer kleiner als der GW.

Gruß lul

Comments

Danke dir. Ja, ich darf annehmen,dass die Zahl e, der Grenzwert der Folge ist. Kann ich nicht die obere Ungleichung durch Induktion zeigen?

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Angesichts der bekannten Infos, dass diese Folge monoton wachsend gegen e konvergiert, halte ich den Versuch für aussichtslos, die Ungleichung durch Induktion beweisen zu wollen.

Gruß

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Da e ja nur als GW bekannt ist kannst du nur zeigen, dass es <e ist indem du zeigst dass es nicht fallend ist, also monoton steigend, Wenn du dau nen beweis kennst und e als GW annimmst hast du gezeigt, dass es immer kleiner ist. Was anderes geht nicht! eben weil e so definiert ist. es sei denn du nimmst eine andere Def von e etwa die Definition der e funktion mit f'=f und f(0)=1,

Gruß lul