Wie zeige ich das der linke Teil der oben genannten Ungleichung kleiner oder gleich ist bezogen auf die rechte Seite?

Question

Aufgabe:a^2+b^2 +c^2 >=ab+bc+ca

Problem/Ansatz

Wie zeige ich das der linke Teil der oben genannten Ungleichung kleiner oder gleich ist bezogen auf die rechte Seite?

Answer 1

Aloha :)

$$0\le(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\quad\Leftrightarrow\quad a^2+b^2>=2ab$$$$0\le(a-c)^2=a^2-2ac+c^2\quad\Leftrightarrow\quad a^2+c^2>=2ac$$$$0\le(b-c)^2=b^2-2bc+c^2\quad\Leftrightarrow\quad b^2+c^2>=2bc$$Damit ist klar:$$\phantom{\Leftrightarrow}\quad(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)\ge2ab+2ac+2bc$$$$\Leftrightarrow\quad2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc$$$$\Leftrightarrow\quad a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$$

Answer 2

Es sollte zum Allgemeingut gehören, dass man weiß, dass stets gilt

a²+b²≥2ab. Das gilt natürlich auch noch, wenn die Variablen andere Namen haben:

a²+b²≥2ab

c²+b²≥2bc

a²+c²≥2ac

Jetzt addiere mal...