Ich könnte die rechte Seite auf die linke subtrahieren und auf einen gemeinsamen Nenner bringen aber hier muss sich …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \frac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{(a-x)^{2}-(x-b)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich könnte die rechte Seite auf die linke subtrahieren und auf einen gemeinsamen Nenner bringen aber hier muss sich doch irgendwas kürzen? Ich habe jeweils das 3. Binom im Nenner und sonst links nur das zweite im Zähler.

Answer 1

Hallo

löse das dritte Binom  links und rechts auf, dann hast du in beiden Nennern einen gemeinsamen -Faktor (a-b)

Gruß lul

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Danke das hat mir geholfen!

Answer 2

Im Folgenden meine Ideen zur Diskussion: $$\dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{(a-x)^{2}-(x-b)^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$$ Addition der Zähler zu den Nennern $$\dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{2(a-x)^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2a^{2}}$$ Kürzen der Gleichung $$\dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{(a-x)^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}$$ Subtraktion der Nenner von den Zählern $$\dfrac{(x-b)^{2}}{(a-x)^{2}}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}.$$ Entfernung der Quadrate $$\dfrac{x-b}{a-x}=\dfrac{\pm b}{a}$$ Addition der Zähler zu den Nennern $$\dfrac{x-b}{a-b}=\dfrac{\pm b}{a\pm b}$$ Auflösen nach x $$x=b\pm\dfrac{b\cdot(a-b)}{a\pm b}$$ Vereinzeln der beiden Lösungen $$x=b-\dfrac{b\cdot(a-b)}{a-b} \quad\lor\quad x=b+\dfrac{b\cdot(a-b)}{a+b}$$ Vereinfachen $$x=0 \quad\lor\quad x=\dfrac{2ab}{a+b}.$$

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Wie kommst du auf den ersten Schritt?

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Das ist eine bei Verhältnisgleichungen mögliche Äquivalenzumformung.

Answer 3

Ich würde zunächst den Nenner des linken Bruches ausmultiplizieren und faktorisieren. Dann im rechten Bruch ebenfalls den Nenner faktorisieren. Dann den mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren.

Dann kannst du alles auf eine Seite bringen und Null setzen. Dann ebenfalls versuchen zu faktorisieren. Ich komme auf folgende Lösung

x = 2·a·b/(a + b) ∨ x = 0

Answer 4

\( \dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{(a-x)^{2}-(x-b)^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \)

\( \dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{((a-x)+(x-b))\cdot((a-x)-(x-b))}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \)

\( \dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{(a-b)\cdot(a+b-2x)}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)(a+b)} \)

\( \dfrac{(a-x)^{2}+(x-b)^{2}}{a+b-2x}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \)

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Wende   (u+v) / (u-v)  =  (u-v + 2v) / (u-v)  =  1 + 2v/(u-v)
auf beide Seiten der Gleichung an, subtrahiere 1 und dividiere durch 2 :

(x-b)^2 / ( (a-x)^2 - (x-b)^2 )  =  b^2 / (a^2-b^2)   führt nach Kehrwertbildung und Addition von 1 auf

( (a-x)/(x-b) )^2  =  (a/b)^2

also (a-x) / (x-b) = a/b    mit der Lösung x = 2ab / (a+b)   *)
oder (a-x) / (x-b) = -a/b   mit der Lösung x = 0                 *)

*)  a = -b oder a = b lässt sich aufgrund des Nenners der rechten Seite der Aufgabe ausschließen.

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Wozu haben Leibniz und Newton die Differentialrechnung erfunden, wenn man sie nicht anwendet ? Damit lässt sich die Aufgabe nämlich noch einfacher lösen.

Man multipliziere die Gleichung in Gedanken (!) mit dem Hauptnenner durch.
Wenn man dann alles auf eine Seite bringt - was erhält man ?   Richtig, eine quadratische Gleichung in x.

Eine Lösung dieser Gleichung ist ganz offensichtlich x = 0.

Zur Bestimmung der zweiten Nullstelle der Parabel bestimme man zunächst den x-Wert ihres Scheitelpunktes durch Differentiation und Nullsetzen der ersten Ableitung. Diese lineare (!) Gleichung lässt sich sehr leicht lösen, die zweite Nullstelle ist dann das Doppelte des so berechneten Wertes.