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Formen Sie die linke Seite der Gleichung so \( \mathrm{um} \), dass ihre rechte Seite entsteht:

a) \( \frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \)

b) \( 2-\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}=2-\frac{1}{2^{n+1}} \)

c) \( \frac{1}{2} n(n+1)+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2) \)

d) \( \frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)+(n+1)^{2}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2 n+3) \)

e) \( \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \cdot \frac{n}{n-1} \)

f) \( \frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}=\frac{n-1}{n} \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)^{n+1} \)

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Du sollst zumindest bei den ersten paar Gleichungen und zeigen, dass du Bruchrechnen kannst mit Variabeln.

Bruchaddition: Gleichen Nenner machen. Und dann noch die Zähler addieren. Vielleicht den Zähler noch vereinfachen.

Bsp. n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2)           |gleichnamig machen

=n(n+1)(n+2)/3 + 3(n+1)(n+2)/3            |ein Bruchstrich

= ( n(n+1)(n+2) +3 (n+1)(n+2)) /3          |(n+1)(n+2) ausklammern

= ((n+3)(n+1)(n+2))/3                         |Faktoren im Zähler sortieren

= ((n+1)(n+2)(n+3))/3           qed erstes Beispiel
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