Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

Question

Aufgabe:  Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Seien k ∈ K und v ∈ V mit kv = 0. Dann gilt k = 0 oder v = 0.
(ii) Sind k, l ∈ K und ist v ∈ V , so folgt aus kv = lv schon k = l.
(iii) Für alle k ∈ K und v ∈ V ist (−k)v das inverse Element bzgl. + von kv.

Problem/Ansatz: Kann mir bitte da jemand helfen? ich finde die Aussagen ganz verwirrend ,

Answer 1

i)  Seien k ∈ K und v ∈ V mit kv = 0-Vektor

1. Fall: v= 0-Vektor . Dann ist die Bedingung k = 0 oder v = 0 erfüllt.

2. Fall   v≠ 0-Vektor . Also ist die Familie, die nur

aus v besteht linear unabhängig. Damit folgt aus kv = 0-Vektor

sofort k=0 . Also ist auch hier die Bedingung k = 0 oder v = 0 erfüllt.

ii)  Gegenbeispiel : Körper ℝ und V = ℝ^2 .

==>    2*0-Vektor = 3*0-Vektor aber 2≠3

iii)   kv + (-k)v = (k+(-k))*v = 0*v = 0-Vektor stimmt also.