Beweisen für alle natürlichen Zahlen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen a folgende Behauptung:
a hoch 3 + 1 ist gerade ⟹ a ist ungerade

Problem/Ansatz:

Also ich dachte, dass man das mit den indirekten Beweis beweisen kann, jedoch komm ich nicht so weiter.. Wäre sehr nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte :)

Answer 1

Wenn \( a \) gerade wäre, dann ist \( a = 2n \) mit \( n \in \mathbb{N} \) also ist \( a^3+1 = 8n^3+1 \) und damit ist \( a^3+1\) ungerade. Widerspuch!

Answer 2

a hoch 3 + 1 ist gerade ⟹ a ist ungerade

Fall 1$$a=2n-1$$$$→$$$$a^3+1=(2n-1)^3+1=$$$$8n^3-12n^2+6n-1+1=$$$$2(4n^3-6n^2+3n)$$gerade

Fall 2$$a=2n$$$$→$$$$a^3+1=(2n)^3+1=2(4n^3)+1$$ungerade