Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für beliebige Mengen...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für beliebige Mengen \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) gilt (für \( \left.n \geq 1\right): A_{n}^{\prime}=A_{n}^{\prime \prime} \) mit
\( A_{j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{cc} A_{1} & \text { falls } j=1 \\ A_{j-1}^{\prime} \cup A_{j} & \text { falls } j>1 \end{array}\right. \)
sowie
\( A_{j}^{\prime \prime}=\left\{\begin{array}{cc} A_{1} & \text { falls } j=1 \\ A_{j} \cup A_{j-1}^{\prime \prime} & \text { falls } j>1 \end{array}\right. \)
für \( 1 \leq j \leq n \)

Problem:

Ich weiß nicht wie ich hier die Induktion anwenden soll/wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Hallo,

wenn ich davon ausgehe, dass es sich nicht um eine Spezialvorlesung in Mengenlehre handelt, wo am Anfang elementare Eigenschaften aus Axiomen hergeleitet werden müssen, dann so:

Induktionsanfang aufgrund der Definition: \(A_1'=A_1''\).

Wennn nun für eine natürliche Zahl gilt: \(A_n'=A_n''\), dann:

$$A_{n+1}'=A_n' \cup A_{n+1}=A_{n+1} \cup A_n'=A_{n+1} \cup A_n''=A_{n+1}''$$

Dabei wurde zunächst die Kommutativität der Mengenvereinigung und dann die Induktionsvoraussetzung ausgenutzt.

Gruß