Zeigen sie, dass R^+ mit diesen Verknüpfungen ein R-Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

… Zeigen sie, dass R⁺ mit diesen Verknüpfungen ein R-Vektorraum ist.

Hierbei Sei R⁺={x∈R Ι x>0} die Menge der positiven rellen Zahlen

Definiere: +: R⁺ x R⁺ → R⁺ : (x,y)↦x*y

 und    * : R x R⁺ : (k,x)↦x^k

Als Hinweis ist gegeben, dass die Addition des Vektorraums R⁺ mithilfe der gewöhnlichen Multiplikation de Körpers R definiert ist. Zudem die Multiplikation des Vektorraums mithilfe der gewöhnlichen Potenz definiert ist

Problem/Ansatz:

… Nun mein Problem wie zeige ich nun das dies ein Vektorraum ist, mir sind die Vektorraum Axiome bekannt nur der Hinweis bzw. die Definition der Vektor Addition und Multiplikation verwirrt mich komplett denn

zb. Wenn ich das neutrale Element der Addition zeigen will geht das überhaupt ?

So wie ich denke wäre dies doch nun x*0=x nur das wäre ja ein Widerspruch

Vielen

Mfg

Answer 1

Wenn ich das neutrale Element der Addition zeigen will geht das überhaupt ?

Ja, dann musst du für V = R+ ein Element e∈V finden, für welches für alle x∈V gilt

x+e = x.

Also hier muss dann x*e = x gelten und das klappt mit e=1.

1 ist also hier das neutrale Element der "Addition" die

ja mittels Multiplikation definiert wurde.

Comments

Vielen Dank ich habe Gedacht das wäre dann schon die Skalare Multiplikation und würde nicht zeigen das es ein Vektorraum ist bzgl. der Addition im vektorraum.

Wäre dann das neutrale Element bzgl der Skalaren Multiplikation dass?

x^k*e=x

e=1 ?

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Oder ist da das k gemeint also sowas wie

x^1=x also 1 das neutrale element?

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Das * ist die Multiplikation von Elementen des

Grundkörpers mit den "Vektoren". Da muss

das VR-Axiom gelten  !*v = v , hier also

1*x = x und weil 1*x ja als x^1 definiert sit, stimmt das.