Vollständige Induktion n!>=3^n

Question

Aufgabe:

Für welche natürlichen Zahlen gilt n!>= 3^n. Beweisen Sie Ihre Vermutung.

Problem/Ansatz:

Also ich hab hier mal ausprobiert und bin so weit gekommen:

Induktionsanfang

n=7

7! = 5040 >= 3^7 =2187

Induktionsvoraussetzung

Es sei n>= 7 eine Zahl, für die die Behauptung stimmt.

Induktionsschritt

Zu zeigen: Wenn n! >= 3^n, dann (n+1)! >= 3^(n+1) für n>=7

Beweis:

(n+1)! = n! (n+1) >= 3^n * (n+1) =n*3^n+3^n

Weiter komm ich nicht, wie immer scheiterts am Induktionsschritt. :-(

Ich meine, wenn ich da Zahlen eingebe, dann weiß ich, dass n*3^n+3^n >= 3^(n+1) ist, aber das kann ich ja nicht einfach so hinschreiben, sondern muss es ja auch begründen.

Danke für eure Hilfe, wär nett wenn ihr mir sagen könnt was falsch ist bzw. wie ich den Beweis zu Ende bringe.

Comments

Geht es denn nun um 3^n oder n^2 .

Oben steht jedes einmal.

---

Habs schon korriegiert sorry

Answer 1

Hallo,

es ist ganz einfach: Du arbeitest ja ohnehin für \(n \geq 7\). Also in Deinem Beweis:

$$\dots 3^n(n+1) \geq 3^n(2+1)=3^{n+1}$$

Gruß

Comments

Dankeschön für die Hilfe, sollte ich mal besser schaun

Answer 2

$$  (n+1)! = n!(n+1) \ge 3^n (n+1) \ge 3^n \cdot 3 = 3^{n+1}  $$ weil ja \( n \ge 7 \) gilt.

Comments

Ahh stimmt danke