Aloha :)
Wir nutzen den Hinweis und setzen die beiden Funktionen$$f(x,t)=h(x+ct)\quad;\quad g(u,v)=\binom{u}{(v-u)/c}$$zu einer zusammen:$$F(u,v)=(f\circ g)(u,v)=f(g(u,v))=f\left(u\,,\,\frac{v-u}{c}\right)=h\left(u+c\,\frac{v-u}{c}\right)=h(v)$$
Wir können nun die partielle Ableitung \(\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}\) direkt berechnen$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial h(v)}{\partial u}=0$$oder mit Hilfe der Kettenregel.$$F(u,v)=(f\circ g)(u,v)=f(x=g_1(u,v)\,,\,t=g_2(u,v))=f\left(x=u\,,\,t=\frac{v-u}{c}\right)$$$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial u}(u)+\frac{\partial f}{\partial t}\,\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{v-u}{c}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$$Damit gilt schließlich:
$$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial f}{\partial t}=c\,\frac{\partial f}{\partial x}$$