Zeigen Sie, dass es eine Funktion h : R → R gibt, so dass

Question

Aufgabe:

Sei f : R2 → R eine differenzierbare Funktion, die die Gleichung

\( \frac{∂ƒ}{∂t} \)  = c \( \frac{∂ƒ}{∂c} \)

für eine Konstante c ̸= 0 erfüllt.

Zeigen Sie, dass es eine Funktion h : R → R gibt, so dass

ƒ (x, t) = h(x + ct).

Hinweis: Berechnen Sie die Ableitung von F := f o g, wobei

\( \begin{pmatrix} x\\t\\ \end{pmatrix} \) = g (u,v) = \( \begin{pmatrix} u \\ (v-u)/c \end{pmatrix} \)

Comments

Suche nach Transportgleichung im Internet.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass es eine Funktion h : R → R gibt, so dass f (x, t) = h(x + ct).

Stichworte: stetigkeit,funktion,beweise

Aufgabe:

Sei f : R² → R eine differenzierbare Funktion, die die Gleichung
∂f / ∂t = c* (∂f / ∂x) für eine Konstante c ≠ 0 erfüllt. Zeigen Sie, dass es eine Funktion h : R → R gibt, so dass f (x, t) = h(x + ct).

Hinweis: Berechnen Sie die Ableitung von F := f ◦ g, wobei \( \begin{pmatrix} x\\t \end{pmatrix} \) = g(u,v) = \( \begin{pmatrix} u\\(v-u)/c \end{pmatrix} \)

Answer 1

Aloha :)

Wir nutzen den Hinweis und setzen die beiden Funktionen$$f(x,t)=h(x+ct)\quad;\quad g(u,v)=\binom{u}{(v-u)/c}$$zu einer zusammen:$$F(u,v)=(f\circ g)(u,v)=f(g(u,v))=f\left(u\,,\,\frac{v-u}{c}\right)=h\left(u+c\,\frac{v-u}{c}\right)=h(v)$$

Wir können nun die partielle Ableitung \(\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}\) direkt berechnen$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial h(v)}{\partial u}=0$$oder mit Hilfe der Kettenregel.$$F(u,v)=(f\circ g)(u,v)=f(x=g_1(u,v)\,,\,t=g_2(u,v))=f\left(x=u\,,\,t=\frac{v-u}{c}\right)$$$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial u}(u)+\frac{\partial f}{\partial t}\,\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{v-u}{c}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$$Damit gilt schließlich:

$$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial f}{\partial t}=c\,\frac{\partial f}{\partial x}$$

Comments

Zeigt dieser Beweis nicht die falsche Richtung, also dass wenn $$h$$ existiert mit

$$ƒ(x,t) = h(x + tc)$$

dass dann die Transportgleichung erfüllt ist ? Ich denke in der Aufgabe war die andere Richtung gesucht.

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Hallo,

ich halte diese Kritik auch für berechtigt.

Gruß