Zeigen Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel, dass f · g total differenzierbar ist und dass

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ R^n offen und seien f,g : D → R total differenzierbar.

Zeigen Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel, dass f · g total differenzierbar ist und dass

J(f · g)(ξ) = f(ξ) (Jg) (ξ) + g (ξ) (Jf) (ξ)

für alle ξ ∈ D gilt.

(Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung m : ℝ^2 → ℝ, m(x1, x2) = x1x2.)

Comments

J (ƒ · g)(ξ) = ƒ (ξ) (Jg) (ξ) + g (ξ) (Jƒ) (ξ) 

Answer 1

Hallo,

wir definieren noch \(F:D \to \mathbb{R}^2, F(t):=\begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}\). Danni ist \(m \circ F =f \cdot g\).

Wir haben folgende Ableitungen (jeweils als Jacobi-Matrizen):
$$m'(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} x_2 & x_1 \end{pmatrix}, F'(t)= \begin{pmatrix} f'(t) \\g'(t) \end{pmatrix}$$

Damit liefert die Kettenregel:

$$(m \circ F)'(t)=m'(F(t))F'(t)= \begin{pmatrix} g(t) & f(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f'(t) \\g'(t)\end{pmatrix}$$

$$=g(t)f'(t)+f(t)g'(t)$$

Gruß