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Aufgabe:

Sei D ⊂ Rn offen und seien f,g : D → R total differenzierbar.

Zeigen Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel, dass f · g total differenzierbar ist und dass


J(f · g)(ξ) = f(ξ) (Jg) (ξ) + g (ξ) (Jf) (ξ)


für alle ξ ∈ D gilt.

(Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung m : ℝ2 → ℝ, m(x1, x2) = x1x2.)

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J (ƒ · g)(ξ) = ƒ (ξ) (Jg) (ξ) + g (ξ) (Jƒ) (ξ) 

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Hallo,

wir definieren noch F : DR2,F(t) : =(f(t)g(t))F:D \to \mathbb{R}^2, F(t):=\begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}. Danni ist mF=fgm \circ F =f \cdot g.

Wir haben folgende Ableitungen (jeweils als Jacobi-Matrizen):
m(x1,x2)=(x2x1),F(t)=(f(t)g(t))m'(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} x_2 & x_1 \end{pmatrix}, F'(t)= \begin{pmatrix} f'(t) \\g'(t) \end{pmatrix}

Damit liefert die Kettenregel:

(mF)(t)=m(F(t))F(t)=(g(t)f(t))(f(t)g(t))(m \circ F)'(t)=m'(F(t))F'(t)= \begin{pmatrix} g(t) & f(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f'(t) \\g'(t)\end{pmatrix}

=g(t)f(t)+f(t)g(t)=g(t)f'(t)+f(t)g'(t)

Gruß

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