Zeigen Sie: Gilt f(x0) > 0, so gibt es a, b ∈ R mit a < x0 < b so, dass f(x) > 0 für alle x ∈ (a, b)

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine Funktion, die in x0 ∈ R stetig ist. Zeigen Sie: Gilt f(x0) > 0, so gibt es a, b ∈ R mit a < x0 < b so, dass f(x) > 0 für alle x ∈ (a, b)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich hänge an dieser Aufgabe jetzt schon seit längerem etwas fest. Ich bin mir nicht sicher, was hier genau gefragt ist.

Also: Eine Funktion f ist in x0 stetig. Jetzt soll man zeigen, dass wenn der Funktionswert von f an der Stelle x0 größer als 0 ist (f(x0) > 0), es a,b gibt, sodass f(x) > 0 für alle x aus a,b.

So wie ich das verstanden habe, soll man zeigen, dass man a und b so wählen kann, dass für alle x, die in diesem Intervall (a,b) liegen, f(x)>0 gilt.

Verstehe ich das so richtig? Wenn ja, hat jemand einen Ansatz, mit dem ich anfangen könnte?

Meine Überlegung war, dass man vielleicht etwas damit anfangen könnte, dass f in x0 stetig ist, und das vielleicht auf das Intervall ausweiten kann..? Ich bin mir aber echt nicht sicher.

Vielen Dank und LG

Answer 1

f stetig in xo <=> Für alle ε>0 existiert ein δ>0 mit |x-xo| <δ ==> |f(x)-f(xo)| < ε.

Es ist hier f(xo)>0 also auch ε = f(xo) / 2  > 0.

Somit gibt es ein δ>0 mit |x-xo| <δ ==> |f(x)-f(xo)| <  f(xo)/2 bzw.

           -δ < x-xo < δ  ==>   -f(xo)/2  < f(x)-f(xo) <  f(xo)/2 oder auch

                   -δ+xo < x < δ+xo ==>  -f(xo)/2+f(xo)  < f(x)<  f(xo) + f(xo)/2

                 -δ+xo < x < δ+xo ==>  f(xo)/2  < f(x)<  3f(xo)/2

Wähle also a=  -δ+xo und b=δ+xo und wegen δ>0 gilt a < x0 < b

dann gilt  für x∈(a,b)        f(xo)/2  < f(x)<  3f(xo)/2

und wegen f(xo)>0 sind also alle f(x)>0.