Ableitung mit x im Exponenten: ALSO (7^ (5x+7)^ ( 1/(7x)) = (5^ (7x+5)^ (1/(5x))

Question

Seit drei Stunden  versuche ich eine Klausuraufgabe zu lösen. Ich bin immer noch nicht auf die richtige Lösung gekommen. Hoffentlich kann mir jemand helfen :)
Ich schreibe einfach die Aufgabenstellung auf:
1. LÖSEN EINER GLEICHUNG
Leiten Sie ohne Taschenrechner die Lösung dieser Gleichung ab:

(7^5x+7)^(1/(7x))   = (5^7x+5)^(1/(5x))     ALSO (7^ (5x+7)^ (1/7x)) = (5^ (7x+5)^ (1/5x))

Zu Ihrer Kontrolle, die Lösung lautet:

x=35   ((ln7 - ln5) / (49 ln5 - 25 ln7))       (ALSO 35 mal im Zähler ln7 - ln5 und im Nenner 49 ln5 - 25ln7)

Diese Seite ist meine letzte Hoffnung :(
 

Answer 1

Das Potenzgesetzt lautet

(a^{b})^c = a^{b*c}

(75^{x + 7})^{1/(7·x)} = (57^{x + 5})^{1/(5·x)}
75^{(x + 7)/(7·x)} = 57^{(x + 5)/(5·x)}
75^{1/x + 1/7} = 57^{1/x + 1/5}
75^{1/x}·75^{1/7} = 57^{1/x}·57^{1/5}
75^{1/x}/57^{1/x} = 57^{1/5}/75^{1/7}
(75/57)^{1/x} = 57^{1/5}/75^{1/7}
1/x = LN(57^{1/5}/75^{1/7})/LN(75/57)
x = LN(75/57)/LN(57^{1/5}/75^{1/7}) = 1.430653332

Oh ich habe gerade gesehen das ich den Expononten falsch gesetzt hatte :(

Ich mache das gleich noch mal

7^{5·x + 7}·(1/(7·x)) = 5^{7·x + 5}·(1/(5·x))
7^{(5·x + 7)/(7·x)} = 5^{(7·x + 5)/(5·x)}
7^{(5·x + 7)/(7·x)} = 5^{(7·x + 5)/(5·x)}
(5·x + 7)/(7·x)·LN(7) = (7·x + 5)/(5·x)·LN(5)
(5·x + 7)·(5·x)·LN(7) = (7·x + 5)·(7·x)·LN(5)
25·x^2·LN(7) + 35·x·LN(7) = 49·x^2·LN(5) + 35·x·LN(5)
25·x^2·LN(7) - 49·x^2·LN(5) + 35·x·LN(7) - 35·x·LN(5) = 0
x·((25·x + 35)·LN(7) - (49·x + 35)·LN(5)) = 0
x = 0 ist keine Lösung

(25·x + 35)·LN(7) - (49·x + 35)·LN(5) = 0
x·(25·LN(7) - 49·LN(5)) = - 35·LN(7/5)
x = - 35·LN(7/5) / (25·LN(7) - 49·LN(5))

x = 35·(LN(7) - LN(5)) / (49·LN(5) - 25·LN(7))

Comments

Vielen Dank :D das war sehr hilfreich :)

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Du hast ja den Caret-Konflikt oben bereits behoben. Wurde offenbar automatisch unleserlich und stimmt im 2. Teil immer noch nicht so ganz.

Answer 2

Uff, da sehe ich nur was längerdauerndes.

Reicht Dir ein Ansatz? Dann schau zu:

$$7^{\frac{5x+7}{7x}} = 5^{\frac{7x+5}{5x}} \quad|:7^{...}$$

$$7^{-\frac{5x+7}{7x}}\cdot5^{\frac{7x+5}{5x}} = 1    \quad|\text{e-Funktion anwenden}$$

Habe im nächsten Schritt direkt \(e^a\cdot e^b = e^{a+b}\) verwendet

$$e^{\left(-\frac{5x+7}{7x}\right)\ln(7) + \left(\frac{7x+5}{5x}\right)\ln(5)} = 1 \quad|\text{e-Funktion entfernen (Logarithmus)}$$

$$\left(-\frac57-\frac1x\right)\ln(7) + \left(\frac75+\frac1x\right)\ln(5) = 0$$

Damit ist der Rest nur noch Umformung. Das Ergebnis hast Du schon, deswegen überlasse ich das vollens Dir. Der Anfang aber nun klar? ;)

Mit "Ableitung" hat das übrigens nichts zu tun.

Grüße