1. Geben Sie explizit unter Aufzählung aller Elemente an:
M hat 3 El. , also P(M) hat 8.
P({∅, 1, {1}}) = { ∅, {∅}, {1}, {∅,1} , { 1, {1}} , {∅, {1}} , {∅, 1, {1}} }
2. Seien A, B Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie, dass dann im Allgemeinen gilt:
Ist falsch:
P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)
A={1 , 2 , 3 } ==> P(A) hat 8 Elemente
B={4, 5 , 6 } ==> P(B) hat 8 Elemente
P(A ∪ B) muss aber 2^6 = 64 El. haben .
Vereinigung zweier 8er-Mengen kann aber höchstens 16 haben
3. Seien A, B Mengen. Zeigen Sie: A = B genau dann, wenn P(A) = P(B).
Sei A=B und M ∈ P(A) ==> M ⊆ A, wegen A=B also auch M ⊆ B.
==> M ∈ P(B) also P(A) ⊆ P(B).
Sei A=B und M ∈ P(B) ==> M ⊆ B, wegen A=B also auch M ⊆ A.
==> M ∈ P(A) also P(B) ⊆ P(A).
Somit P(A) = P(B).
Umgekehrt: Seien A, B Mengen. und P(A) = P(B).
Sei nun x ∈ A . ==> {x} ⊆ A ==> {x} ∈ P(A )
wegen P(A) = P(B) folgt {x} ∈ P(B )
==> {x} ⊆ B ==> x ∈ B.
entsprechend folgt x ∈ A auch aus x ∈ B.
Also A=B.
