Aufgabe:
Hallo,
könnte mir bitte jemand erklären, wie man auf die Regel kommt?
Man muss die Regel angeben, die verwendet wurden!
Teilaufgabe b.
ich habe die Lösung und die Aufgabe als Bilder beigefügt.
Text erkannt:
Bremsschuh Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) mit \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=-\mathrm{e}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}}+\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} ; \mathrm{a} \in \mathbb{R} \).
Die Graphen der Schar \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) sind \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \).
Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) mit den beiden Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a. Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \( \mathrm{f}_{1} \) für \( \mathrm{x} \rightarrow+\infty \) und \( \mathrm{x} \rightarrow-\infty \) an.
b) Jeder Graph \( G_{\mathrm{a}} \) hat im Punkt \( \mathrm{E}_{\mathrm{a}}\left(-\mathrm{a}-\ln 2 \mid \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(-\mathrm{a}-\ln 2)\right) \) eine zur \( \mathrm{x} \) -Achse parallele
Tangente. Zur Ermittlung des x-Wertes dieses Punktes hat ein Schüler den folgenden Lösungsweg korrekt angegeben:
(1) \( f_{a}^{\prime}(x)=-e^{x-a}+2 e^{2 x} \)
(2) \( 0=-\mathrm{e}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}}+2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \Leftrightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}}=2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \)
(3) \( e^{-x-a}=2 \)
(4) \( x=-a-\ln 2 \)
Geben Sie drei Regeln an, die beim Ableiten des Funktionsterms von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) genutzt worden sind, und begründen Sie die Umformung von Gleichung (2) zu Glei-
chung (3) Zeigen Sie, dass für a \( =0 \) der Punkt \( E_{0} \) ein lokaler Extrempunkt von \( \mathrm{G}_{0} \) ist. Bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.
Der Graph \( G_{1} \) und die Gerade \( g \) mit der Gleichung \( y=-4 x+1-\frac{1}{e} \) begrenzen gemeinsam mit der \( \mathrm{x} \) -Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entspricht, der das Wegrollen von Fahrzeugen verhindert
\( (1 \mathrm{LE}=25 \mathrm{~cm}) \)
Text erkannt:
b) Ableitungsregeln
$$ \begin{array}{l} f_{a}(x)=-e^{x-a}+e^{2 x} \\ f_{a}^{\prime}(x)=-e^{x-a}+2 e^{2 x} \end{array} $$
Folgende Regeln wurden zum Ableiten genutzt:
Faktorregel:
$$ \begin{array}{l} (a \cdot f(x))^{\prime}=a \cdot f^{\prime}(x) \quad \text { mit } \\ a=-1 \text { und } f(x)=e^{x-a} \end{array} $$
Kettenregel:
$$ f(g(x))^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) \text { mit } $$
$$ g(x)=2 x \text { und } f(g(x))=e^{2 x} $$
Summenregel:
$$ (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \quad \text { mit } $$
\( f(x)=-e^{x-a} \) und \( g(x)=e^{2 x} \)
Text erkannt:
Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) mit den beiden Koordi- natenachsen in Abhängigkeit von a. Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \( f_{1} \) für \( x \rightarrow+\infty \) und \( x \rightarrow-\infty \) an.
b) Jeder Graph \( G_{\mathrm{a}} \) hat im Punkt \( \mathrm{E}_{\mathrm{a}}\left(-\mathrm{a}-\ln 2 \mid \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(-\mathrm{a}-\ln 2)\right) \) eine zur \( \mathrm{x} \) -Achse parallele Tangente. Zur Ermittlung des \( \mathrm{x} \) -Wertes dieses Punktes hat ein Schüler den folgenden Lösungsweg korrekt angegeben:
(1) \( f_{a}^{\prime}(x)=-e^{x-a}+2 e^{2 x} \)
(2) \( 0=-\mathrm{e}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}}+2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \Leftrightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}}=2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \)
(3) \( e^{-x-a}=2 \)
(4) \( x=-a-\ln 2 \)
Geben Sie drei Regeln an, die beim Ableiten des Funktionsterms von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) genutzt worden sind, und begründen Sie die Umformung von Gleichung (2) zu Gleichung (3) Zeigen Sie, dass für a \( =0 \) der Punkt \( \mathrm{E}_{0} \) ein lokaler Extrempunkt von \( \mathrm{G}_{0} \) ist. Bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.
c) Der Graph \( G_{1} \) und die Gerade \( g \) mit der Gleichung \( y=-4 x+1-\frac{1}{e} \) begrenzen gemeinsam mit der \( \mathrm{x} \) - Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entsnricht der das Wegrollen
