Stichprobe binomialverteilte Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Ein Firma erhält regelmäßig Lieferungen, die aus jeweils N =100 Erzeugnissen bestehen. Aus statistischen Unterlagen geht hervor, dass die Zahl der in einer Lieferung enthaltenen Ausschussstücke eine Zufallsvariable ist, die als binomial verteilt mit den Parametern n = 2 und p = 0,1 angenommen werden kann. Einer Lieferung mit unbekanntem Ausschussanteil werden m=10 Qualitätskontrollproben ohne Zurücklegen entnommen.
Die gesamte Lieferung wird nur dann angenommen, wenn alle m = 10 Erzeugnisse qualitätsgerecht sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
(a) eine Lieferung k = 0, 1, 2 Ausschussstücke enthält.
(b) eine Lieferung angenommen wird.
(c) Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl der Sendungen, mit der die Firma insgesamt ein Ausschussstück erwarten muss.

Problem/Ansatz:

Erzeugnisse N=100

Zufallsvariable x (Ausschusstücke) n=2 p=0,1

Stichprobe m=10

Erwartungswert n*p = 2*0.1 = 0.2

a) ges. P(X=k)    k=0,1,2

b) "Die gesamte Lieferung wird nur dann angenommen, wenn alle m = 10 Erzeugnisse qualitätsgerecht sind." 
    Demnach muss es doch einfach nur 0 Ausschussstücke geben, also siehe a P(X=0) oder bringe ich da was                           durcheinander?

c) ???

Mein Problem bei den Aufgaben ist jedoch, dass ich nicht wirklich weiß wie ich das Gesuchte berechne. Durch die binomialverteilte Zufallsvariable hab ich erst an Bernoulli gedacht, aber dies wäre ja mit Zurücklegen.
Wie berechne ich dann zb P(X=0)?

Danke für eure Hilfe

Answer 1

a) hast du im Kommentar schon richtig erkannt: \(X\sim B(2;0,1)\)

b) du kannst es dir als zweistufiges Zufallsexperiment vorstellen:

erste Stufe ist das \(X\) aus (a), also die Anzahl der Ausschussstücke in der Lieferung

zweite Stufe ist \(Y\sim H(100;X;10)\), also die Anzahl der gefundenen Ausschussstücke in der Stichprobe

c) ist meiner Meinung nach merkwürdig formuliert. Die durchschnittliche Anzahl lässt sich wohl kaum berechnen, ohne eine Angabe über die Gesamtzahl der Lieferungen. Gemeint ist vermutlich der durchschnittliche Anteil, also

\(P(X\ge 1)=1-B(2;0,1;0)\)

Answer 2

a) ges. P(X = k)    k = 0, 1, 2

Kannst du das nicht berechnen?

Comments

Was bedeutet denn "dass die Zahl der in einer Lieferung enthaltenen Ausschussstücke eine Zufallsvariable ist, die als binomial verteilt mit den Parametern n = 2 und p = 0,1 angenommen werden kann" in diesem Zusammenhang? Es gibt 100 Erzeugnisse, wovon wir 10 als Stichprobe wählen. In diesen 100 gibt es durchschnittlich 2 Ausschussstücke? Was wäre dann der Sinn hinter der Wahrscheinlichkeit p?

Diesen Teil verstehe ich nicht wirklich.

---

Das bedeutet, dass es in 100 Erzeugnissen 0 bis 2 fehlerhafte Erzeugnisse geben kann und das die Anzahl der fehlerhaften Erzeugnisse hier binomial verteilt ist. Also eigentlich exakt so wie es dort steht.

In diesen 100 gibt es durchschnittlich 2 Ausschussstücke?

Das ist definitiv falsch. Wenn es maximal 2 fehlerhafte geben kann dann ist der durchschnitt garantiert weniger als 2.

---

Ich hab trotzdem noch keine Ahnung wie ich es jetzt berechnen muss.

Muss ich jetzt mit Hilfe der bernoulli Formel zb P(X=0) ausrechnen? Dies wäre ja 0,81. wäre das dann schon Aufgabe a)? Und wie macht man dann bei b weiter

Ich verstehe halt nicht wie ich ne Binomislverteilung in einer Aufgabe ohne zurücklegen haben kann? Da hat man doch die Hypergeometrisxhe Verteilung benutzt. Aber diese kann man hier ja nicht anwenden.