Konvergenz ähnlicher Matrix

Question

ich soll folgendes zeigen:

Wenn \( \sum_{k=0}^\infty D^k \) mit \( D=diag(d_1, \ldots, d_n)\) und \(|d_1|, \ldots, |d_n| <1 \) konvergiert, dann konvergiert auch die Neumann-Reihe \( \sum_{k=0}^\infty B^k \)  zu jeder zu \(D \) ähnlichen Matrix \( B \).

Ich weiß, dass ich \( B=S^{-1}DS \) schreiben kann, allerdings weiß ich nicht wie mich das hier weiter bringt.

Comments

Schreib einfach mal BB und BBB ...hin und vereinfache

Gruß

Answer 1

Es ist \(B^2=B\cdot B=(S^{-1}DS)(S^{-1}DS)=S^{-1}D(SS^{-1})DS=S^{-1}D^2S\).
Induktiv folgt \(B^k=S^{-1}D^kS\). Damit ist$$\sum_{k=0}^\infty B^k=\sum_{k=0}^\infty S^{-1}D^kS=S^{-1}\left(\sum_{k=0}^\infty D^k\right)S.$$