Funktion mit Wurzel ableiten

Question

Wie leite ich diese Funktion ab?

\( y=\sqrt[]{4-x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}+4} \)

Ich hab beide in Potenzen umgeschrieben:

\( y=\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(x^{2}+4\right)^{\frac{1}{2}} \)

Und jetzt muss ich die Produktregel

f’(x) = u(x)’ • v (x) + u(x) • v’ (x)

benutzen, oder?

Answer 1

Hallo,

Vereinfache zuerst und differenziere dann.

allgemein gilt:

√a *√b =√(ab)

----->

y=√(16-x^4) =(16-x^4)^(1/2)

y'= 1/2 (16-x^4)^(-1/2) *(-4x^3)

dann noch vereinfachen:

\( \frac{d}{d x}\left(\sqrt{4-x^{2}} \sqrt{x^{2}+4}\right)=-\frac{2 x^{3}}{\sqrt{16-x^{4}}} \)

Answer 2

Aloha :)

Du benötigst die Produktregel und die Kettenregel:

$$y=\underbrace{(4-x^2)^{1/2}}_{=u}\cdot\underbrace{(x^2+4)^{1/2}}_{=v}$$$$y'=\underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-2x)}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(x^2+4)^{1/2}}_{=v}+\underbrace{(4-x^2)^{1/2}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}(x^2+4)^{-1/2}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(2x)}^{=\text{innere}}}_{=v'}$$$$y'=-\frac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{4-x^2}}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{x^2+4}}$$

Alternativ könntest du den Term vorher vereinfachen:

$$y=\sqrt{(4-x^2)(4+x^2)}=\sqrt{16-x^4}$$$$y'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{16-x^4}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-4x^3)}_{=\text{innere}}=-\frac{2x^3}{\sqrt{16-x^4}}$$

Das bedeutet auch, dass du die erste Lösung noch erheblich vereinfachen kannst, indem du die beiden Brüche auf den Hauptnenner bringst und dann vereinfachst ;)