Aloha :)
Sei \(f:V\to W\) eine lineare Abbildung.
$$\text{a)}\quad f \text{ injektiv}\implies\operatorname{Kern}(f)=\{\vec 0_V\}$$Eine lineare Abbildung bildet \(\vec 0_V\) stets auf \(\vec 0_W\) ab, denn:$$f(\vec 0_V)=f(\vec 0_V+\vec 0_V)\stackrel{\text{linear}}{=}f(\vec 0_V)+f(\vec 0_V)=2\,f(\vec 0_V)\implies f(\vec 0_V)=\vec 0_W$$(Hier kannst du auch deine Überlegung mit dem Faktor \(0\) einsetzen. Du hast damit allerdings nur gezeigt, dass \(\vec 0_V\) im Kern ist. Du musst noch den folgenden Schritt weiter gehen.)
Wegen der Injektivität von \(f\) wird jedes Element der Zielmenge \(W\) höchstens \(1\)-mal erreicht. Daher ist \(\vec 0_V\) das einzige Element des Kerns.
$$\text{b)}\quad \operatorname{Kern}(f)=\{\vec 0_V\}\implies f \text{ injektiv}$$Wir nehmen an, es gibt zwei Argumente \(\vec a,\vec b\in V\) mit demselben Funktionswert, dann gilt:$$f(\vec a)=f(\vec b)\implies f(\vec a)-f(\vec b)=\vec 0_W\stackrel{\text{linear}}{\implies}f(\vec a-\vec b)=\vec 0_W$$Da nach Voraussetzung das einzige Element im Kern der Nullvektor \(\vec 0_V\) ist, muss gelten:$$\vec a-\vec b=\vec0_V\implies\vec a=\vec b$$Es gibt also keine 2 verschiedenen Argument mit demselben Bild, daher ist die Abbildung \(f\) injektiv.
