Beweisen von Untervekorräumen

Question

Aufgabe:

Seien V ein Vektorraum und U₁ und U₂ Teilmengen von V. Die folgenden Aussagen sollen durch ein Beweis oder ein Gegenbeispiel beweist werden:

1.) Ist U₁ ≠ 0 und erfüllt (UV2) also Verträglichkeit mit Addition, dann ist U₁ ein Untervektorraum.

2.) Ist U1 ≠ 0 und erfüllt (UV3) also Verträglichkeit mit Multiplikation, dann ist U1 ein Untervektorraum.

3.) Sind U1 und U2 Untervektorräume, dann ist U1 ∪ U2 ein Untervektorraum.

4.) Sei A ∈ M_m,n (K), b∈K^m ; Lös vom LGS L=Lös(A,b) ⊂ Kⁿ ; Angenommen L≠leere Menge, dann ist U=(x-x´ | x, x´∈L) ein Untervekorraum von V = Kⁿ .

Bei 1.) und 2.) hab ich nur das Problem, dass ich nicht verstehe, warum alleine durch zwei Bed. ein Untervektorraum bestätigen soll, weil es sollte doch immer alle drei gelten, wenn ein es Untervektorraum sein sollte.

Bei 3.) weiß ich nicht wie ich anfangen, soll weil ansich die beiden Mengen vereinigt wurden und die Eigenschaften alle erhalten bleiben sollen.

Bei 4.) ist das Problem, dass ich nicht verstehe was x´ bedeuten soll, da habe ich keine Definition gefunden.

Answer 1

Die folgenden Aussagen sollen durch ein Beweis oder ein Gegenbeispiel beweist werden:

Nein. Du musst entscheiden ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Deine Behauptung musst du beweisen.

warum alleine durch zwei Bed. ein Untervektorraum bestätigen soll,

Tut's nicht. Du musst einen Grund finden, warum nicht.

und die Eigenschaften alle erhalten bleiben sollen.

Addiere ein Element aus U1 zu einem Element aus U2. In welcher Menge liegt das Ergebnis?

U=(x-x´ | x, x´∈L)

Etwas präziser formuliert ist

        U = {v ∈ Kⁿ | ∃x, x' ∈ L: v = x - x' }