Hallo David,
anbei eine Zeichnung:
b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Zur 'Berechnung' der Dreiecksfläche muss natürlich der Punkt \(C\) berechnet werden. ich unterstelle, es soll sich um eine rechtsdrehendes Dreieck handeln, dann kann man sich auf eine von zwei Lösungen konzentrieren. \(C\) ist der Schnittpunkt zweier Kreise. Ein Kreis \(k_1\) um den Punkt \(A\) mit dem Radius \(|AB|=\sqrt{26}\) und ein Kreis \(k_2\) um \(B\) mit dem Radius \(|BC|=6\).$$k_1: \quad (x+3)^2 + (y+2)^2 = 26 \\ k_2: \quad (x-2)^2 + (y+1)^2 = 6^2 \\ \begin{aligned} 6x + 9 + 4y + 4 - (-4x + 4 + 2y + 1) &= 26 - 36 &&\left|\, k_1 - k_2 \right.\\ 10x +2y &= -18 \\ 5x + y &= -9 \implies y = -5x -9 \\ (x-2)^2 + (-5x -9+1)^2 &= 6^2 \\ x^2 - 4x + 4 + 25x^2 + 80x + 64 &= 36 \\ 26x^2 + 76x + 32 &= 0 \end{aligned} \\ \begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-76 - \sqrt{ 76^2 - 4\cdot 26 \cdot 32 }}{2\cdot 26} \\ &= \frac{-19 \pm \sqrt{153}}{13} \approx -2,41 \\ \implies y &= \frac{-22 + 5\sqrt{153} }{13} \approx 3,07 \end{aligned}$$Ein Trick besteht darin, die beiden Kreisgeichungen zunächst von einander abzuziehen. Und anschließend das Resultat in einer der beiden Kreisgleichungen einzusetzen. Dann bekommt man immer eine quadratische Gleichung. Und ich habe die zweite Lösung gleich weg gelassen. Also ist \(C\approx (-2,41|\,3,07)\).
Den Flächeinhalt \(F\) berechnet man bei Kenntniss der drei Koordinaten des Dreiecks am einfachsten mit dem 'Kreuzprodukt'$$F = \frac 12 \vec{AB} \times \vec{AC} = \frac 12 \begin{pmatrix}5\\ 1\end{pmatrix} \times \frac 1{13} \begin{pmatrix}20 - \sqrt{153}\\ 4 +5\sqrt{153 }\end{pmatrix} \\ \quad = \sqrt{153} \approx 12,37$$
d) Zeige durch Rechnung, dass für die Mittelsenkrechte m[AB] gilt: y= -5x-4.
Der Normalenvektor \(\vec n\) der Mittelsenkrechten ist \(\vec{AB}\) (s.o.) \(m_{AB}\) verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke \(AB\), Also kann man direkt die Normalform aufstellen:$$\begin{aligned} \vec n \cdot \vec x &= \vec n \cdot \frac 12 (A + B)\\ \begin{pmatrix}5\\ 1\end{pmatrix} \vec x &= \begin{pmatrix}5\\ 1\end{pmatrix} \cdot \frac 12 \left( \begin{pmatrix}-3\\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}\right) \\ 5x + y &= -4 \\ y &= -5x -4 \end{aligned}$$
e) Zeichne die Gerade g = AM und zeige durch Rechnung, dass sie folgende Gleichung besitzt: y=1,09x+1,27
\(AM\) ist die Mittelsenkrechte über der Strecke \(BC\). Der Normalenvektor ist \(BC\) und sie geht durch die Mitte der Strecke \(BC\) - also durch \((B+C)/2\). Rechne mal selber ... ich habe $$ y = 1,086 x + 1,257$$
f) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes M.
Ist der Schnittpunkt der beiden Geraden - also die Lösung des LGS$$ \begin{aligned} y &= -5x -4 \\ y &= 1,086 x + 1,257\end{aligned}$$mit der Lösung \(M=(-0,864|\, 0,319)\) (Deine Lösung ist wahrscheinlich falsch gerundet!)
g) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks ABC am Flächeninhalt des Kreises.
schaffst Du das alleine ? Tipp: der Radius des Umkreises ist \(|MA|\)
Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
