Lösungsmenge einer Ungleichung richtig angeben

Question

Aufgabe:

Man hat die Ungleichung  \( \sqrt{5-y} \)≤\( \sqrt{2*y^2-1} \) und soll von dieser die Lösungsmenge bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich hab dann für diese Ungleichung als Lösung y₁=1,5 und y₂=-2 heraus bekommen. Nun bin ich mir aber unsicher wie ich die Lösungsmenge angeben muss, da dass bei einer Ungleichung ja glaube ich anders ist als bei einer normalen Gleichung, d.h. man hat meine ich ein Intervall als Lösungsmenge.

Rechnung:

\( \sqrt{5-y} \leq\left.\sqrt{2 y^{2}-1} \quad\right|^{2} \)
\( 5-y \leq 2 y^{2}-1 \quad -(5-y) \)
\( 0 \leq 2 y^{2}+y-6 \quad \mid \cdot \frac{1}{2} \)
\( y_{1 / 2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-(4 \cdot 2 \cdot(-6)}}{2 \cdot 2}=\frac{-1 \pm 7}{4} \quad 0 \leq(y-1,5)(y+2) \)
\( y_{1}=1.5 \)
\( y_{2}=-2 \)

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die Ungleichung$$\left.\sqrt{5-y}\le\sqrt{2y^2-1}\quad\right.$$und stellen zunächst fest, dass die Argumente beider Wurzelfunktionen \(\ge0\) sein müssen:$$5-y\ge0\;\Leftrightarrow\;\quad 5\ge y \quad;\quad 2y^2-1\ge0\;\Leftrightarrow\;y^2\ge\frac{1}{2}\;\Leftrightarrow\;y\ge\frac{1}{\sqrt2}\;\lor\; y\le\frac{-1}{\sqrt2}$$Das so erhaltene Intervall für \(y\), in dem beide Seiten zugleich definiert sind, merken wir uns:$$\sqrt{5-y}\le\sqrt{2y^2-1}\quad;\quad y\in\left(-\infty\;;\;-\frac{1}{\sqrt2}\right]\cup\left[\frac{1}{\sqrt2}\;;\;5\right]$$Nun formen wir die Ungleichung um:

$$\left.\sqrt{5-y}\le\sqrt{2y^2-1}\quad\right|\quad-\sqrt{5-y}$$$$\left.0\le\sqrt{2y^2-1}-\sqrt{5-y}\quad\right|\quad\cdot\left(\sqrt{2y^2-1}+\sqrt{5-y}\right)$$$$\left.0\le\left(\sqrt{2y^2-1}-\sqrt{5-y}\right)\left(\sqrt{2y^2-1}+\sqrt{5-y}\right)\quad\right|\quad\text{3-te binomische Formel}$$$$\left.0\le(2y^2-1)-(5-y)\quad\right|\quad\text{zusammenfassen}$$$$\left.0\le2y^2+y-6\quad\right|\quad:\,2$$$$\left.0\le y^2+\frac{1}{2}y-3\quad\right|\quad\text{rechts \(-3\) durch \(\frac{1}{16}-\frac{49}{16}\) ersetzen}$$$$\left.0\le \left(y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)-\frac{49}{16}\quad\right|\quad\text{1-te binomische Formel}$$$$\left.0\le \left(y+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{49}{16}\quad\right|\quad+\frac{49}{16}$$$$\left.\frac{49}{16}\le \left(y+\frac{1}{4}\right)^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.y+\frac{1}{4}\ge\frac{7}{4}\;\;\lor\;\;y+\frac{1}{4}\le-\frac{7}{4}\quad\right|\quad-\frac{1}{4}$$$$y\ge\frac{3}{2}\;\;\lor\;\;y\le-2$$Wir gleichen dies noch mit dem oben bestimmten Definitionsbereich ab und erhalten:$$y\in(-\infty\;;\;-2]\;\cup\;\left[\frac{3}{2}\;;\;5\right]$$

~plot~ sqrt(5-x)*((x<=-0,707)+(0,707<=x)) ; sqrt(2*x^2-1)*(x<=5) ; {-2|2,65} ; {1,5|1,87}  ; [[-4|6|0|7]] ~plot~

Comments

Ich bin da vorhin selbst drauf gekommen, aber vielen Dank fürs lösen damit ich noch mal eine Bestätigung habe :)

Answer 2

Es ist eine Parabel. y1 und y2 sind die Schnittstellen mit der x-Achse.

Zwischen den Schnittstellen liegt der gesuchte Bereich einschließlich von diesen.