Hallo,
sei mal a=supA, b=supB, c=sup\(A \cup B\) und m=max(a,b).
Wir benutzen die Charakterisierung von sup als kleinste ober Schranke:
1. Für jedes \(x \in A \cup B\) gilt: \(x \in A\) oder \(x \in B\)
Wenn \(x \in A\), dann: \(x \leq a \leq m\)
Wenn \(x \in B\), dann: \(x \leq b \leq m\)
Also gilt in beiden Fällen: \(x \leq m\). m ist ober Schranke für \(A \cup B\), also folgt \(c \leq m\).
2. c ist obere Schranke für A; denn \(A \sube A \cup B\). Ebenso ist c obere Schranke für b. Also gilt \(a \leq c, b\leq c\) und damit \(m \leq c\).
Die zweite Aussage geht sehr ähnlich, wobei ja nur eine Ungleichung zu zeigen ist.
Als Beispiel für die letzte Frage kannst Du nehmen: \(A=\{0,1\}, B=\{0,2\}\).
Gruß
