(M × N) ∪ (P × Q) ⊂ (M ∪ P) × (N ∪ Q) zeigen

Question

a) Zeigen Sie, dass \( (M \times N) \cap(P \times Q)=(M \cap P) \times(N \cap Q) \).
b) Zeigen Sie, dass \( (M \times N) \cup(P \times Q) \subset(M \cup P) \times(N \cup Q) \)
c) Geben Sie vier Mengen \(M, N, P, Q \) an, für die \( (M \cup P) \times(N \cup Q) \not \subset(M \times N) \cup(P \times Q) \) gilt.

a) habe ich schon aber bei b) und c) weiß ich nicht wie ich da machen soll.

Answer 1

Sei also x ein Element von \( (M \times N) \cup(P \times Q)  \)

Da die an der Vereinigung beteiligten Mengen beides Mengen von Paaren sind,

ist x auch ein Paar, etwa  x = (a,b)

==>  (a,b) ∈ MxN     v   (a,b)  ∈ PxQ

==> ( ( a ∈ M )  ∧ ( b ∈ N ) )   v  (  ( a ∈ P )    ∧ ( b ∈ Q ) )

==> ( ( a ∈ M ) v   ( a ∈ P ) )   ∧  ( ( a ∈ M ) v ( b ∈ Q ) ) 
        ∧ ( ( b ∈ N ) v ( a ∈ P ) )  ∧ ( ( b ∈ N ) v ( b ∈ Q) )  

also insbesondere

         ( ( a ∈ M ) v ( a ∈ P ) )   ∧ ( ( b ∈ N ) v ( b ∈ Q) )

==>     a ∈ M∪P   ∧  b ∈ N∪Q

==>   (a,b)  ∈ (M∪P ) x ( N∪Q )    q.e.d.

Der Beweis zeigt ja schon was bei der Konstruktion des Gegenbeispiels

zu bedenken ist , die weggelassenen Teile der 4-teiligen

UND-Verbindung können ja falsch sein. Etwa bei

M={1}  P={3}  und   N={1}  Q={3}
==>   MxN =  {(1;1)}  und PxQ =  {(3;3)}

also   MxN ∪    PxQ =  {(3;3),(1;1)}

aber (M∪P ) x ( N∪Q ) =  {(3;3),(1;1),(1;3),(3;1)}