Wie löse ich diese Exponentialgleichung?

Question

Aufgabe:

Folgende Funktion soll gelöst werden: 4e^x - 5^-x • 3^2x = 0

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier nicht genau wie ich, nach dem anwenden des ln, nach x auflösen kann.

Bisheriger Fortschritt: x = -xln(5) + 2xln(3) - ln(4)

Answer 1

\(\)

\( 4e^x - 5^{-x} \cdot 3^{2x} = 0 \)

\(\iff 4e^x = 5^{-x}3^{2x} = 5^{-x}9^x \)

\(\iff \ln(e^x) + \ln(4) = x + \ln(4) = \ln(9^x)+\ln(5^{-x}) = x\ln(9) - x\ln(5) = x(\ln(9) - \ln(5)) = x\ln\left(\frac{9}{5}\right) \)

\( x + \ln(4) = x\ln\left(\frac{9}{5}\right) \)

\(\iff \ln(4) = \left(\ln\left(\frac{9}{5}\right) - 1\right)x \iff x = \frac{\ln(4)}{\ln\left(\frac{9}{5}\right) - 1}\)

Lg

Answer 2

Die Gleichung kann algebraisch nicht gelöst
werden.
Mit einem Näherungsverfahren ist dies möglich.
x = -3.363

Comments

Weshalb sollte die Gleichung nicht lösbar sein? Woran würde es scheitern?

---

Da habe ich mich bei der Aufgabenstellung verguckt.
siehe die anderen Antworten.

Answer 3

Ich mag falsch liegen, aber das sieht auf den ersten Blick eigentlich lösbar aus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=4e%5Ex+-+5%5E-x+%E2%80%A2+3%5E%282x%29+%3D+0

Wolfram Alpha : 4e^x - 5^-x • 3^(2x) = 0    ergibt x= log(4)/ (log(9/5)-1)

4e^{x} - 5^{-x} • 3^{2x} = 0 // -4e^{x}   (ln(0) geht ja nicht, aber man könnte etwas von der linken Seite rüber ziehen??

- 5^{-x} • 3^{2x}  =  -4e^{x}  // * (-1)

5^{-x} • 3^{2x}  = 4e^{x}  // ln()   //a*x -> a+x

ln( 5^{-x} ) + ln(3^{2x} ) = ln(4)+ln(e^{x}) // ln regeln...

ln(5)*(-x) +ln(3)*2x = ln(4) + x // alles nach "links" bringen

 -x -ln(5)*x +2*ln(3)*x = ln(4) // x klammern

x*(-1-ln(5) +2*ln(3) ) = ln(4) // teilen , 2*ln(3) = ln(3^{2}) = ln(9), ln(9)-ln(5) = ln(9/5)

x= ln(4) / (-1-ln(5) +2*ln(3) )

x= ln(4) / ( ln(9/5) -1 )  // genau wie von Wolfram Alpha

In R die einzige Lösung.

Comments

Danke dir, jetzt kann ich esviel besser nachvollziehen

Answer 4

Unten steht mein Weg, doch du hast doch gut vorgearbeitet.

$$x = -xln(5) + 2xln(3) - ln(4)$$

$$ln(4) = x(-ln(5) + 2xln(3) - 1) $$

$$x= \frac{ln (4)}{2ln(3)-ln(5) -1} $$

Entschuldige, ich sollte erst alles durchlesen.

 $$4e^x - 5^{-x} • 3^{2x} = 0$$$$e^{x+ln4}=( \frac{9}{5} )^x$$$$e^{x+ln4}=e^{x ln\frac{9}{5} }$$$$x+ln4=xln \frac{9}{5} $$$$x(ln 9-ln5 -1)=ln 4$$$$x= \frac{ln 4}{ln9-ln5 -1} $$