Beweis für die Existenz einer Folge

Question

Text erkannt:

Es sei \( A \subseteq \mathbb{R} \) nichtleer und nach oben beschränkt. Zeigen Sie, dass dann eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) existiert mit \( a_{n} \in A \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sup A \).

Ich weiß leider gar nicht, wie ich so etwas zeige. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

nimm dir eine beliebige Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in A\), für die gilt:

\( a_n < a_{n+1} \ \forall n \in \mathbb{N}\). (Also eine monoton wachsende Folge)

Nun ist die Menge \( A \) nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein \( K \in A \), s.d. \( a \leq K \ \forall a \in A\).

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = K = \sup(A) \).

Das ist jetzt nur noch eine Arbeit mit Definitionen und Sätzen, die du in der Vorlesung hattest.

Lg

Comments

Für was ist "Doesi" die Abkürzung ?

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"Doesi" ist keine Abkürzen - das ist ein Name. Ich habe als Kind öfter gedöst und so hat man mir irgendwann diesen Spitznamen gegeben. Den fand ich dann so cool, dass ich ihn heute noch benutze. :D