unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt A hat?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die gefärbte unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt A hat. Geben Sie ggf. A an.

Problem/Ansatz:

a) f(x) = -4x^-3  ; Fläche von X=-1 und weiter in den negativen Bereich

b) f(x) = -3/Wurzel x ; Fläche von x=1 und weiter in die positive richtung

c) f(x)= 2/x^3 ; Fläche von x=0 bis 1

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$F_a=\int\limits_{-\infty}^{-1}-4x^{-3}\,dx=\left[\frac{-4}{-2}x^{-2}\right]_{-\infty}^{-1}=\left[\frac{2}{x^2}\right]_{-\infty}^{-1}=2-0=2$$$$F_b=\int\limits_1^{\infty}-\frac{3}{\sqrt x}\,dx=\int\limits_1^{\infty}-3x^{-1/2}\,dx=\left[\frac{-3}{1/2}x^{1/2}\right]_{1}^{\infty}=\left[-6\sqrt{x}\right]_{1}^{\infty}\to-\infty$$$$F_C=\int\limits_0^1\frac{2}{x^3}\,dx=\int\limits_0^{1}2x^{-3}\,dx=\left[\frac{2}{-2}x^{-2}\right]_{0}^1=\left[-\frac{1}{x^2}\right]_{0}^{1}\to\infty$$

Comments

Wie lautet die Lösung zu der gleichen Aufgabenstellung mit der Funktion f(x)=4/wurzelx Fläche von x=0 bis 4?

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\(\int \limits_{0}^{4}\frac{4}{\sqrt{x}}dx=\int \limits_{0}^{4}4\cdot x^{-\frac{1}{2}}dx=\bigg[8x^{\frac{1}{2}}\bigg]_0^4=\bigg[8\sqrt{x}\bigg]_0^4=16\)

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Vielen Dank. Aber warum kann es in diesem Fall nicht auch -16  sein, da die Wurzel aus 4 ja sowohl 2 als auch -2 ist?

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Flächeninhalte werde nicht als negative Zahlen angegeben. Es gilt dann der Betrag der Zahl.Negative Zahlen ergeben sich, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft. Das ist aber hier nicht der Fall:

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Wurzeln sind immer(!) positive Zahlen (oder null). Du darfst \(\sqrt4\) nicht mit der Lösung der Gleichung \(x^2=4\) verwechseln. Bei der Lösung einer solchen quadratischen Gleichung setzen wir ein Plus-Minus-Zeichen vor die Wurzel.$$x^2=4\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt4=\pm2$$Das ist genau deswegen nötig, weil die Wurzel-Operation selbst nie negative Ergebnisse liefert.