e^x • cos^2 x Ableiten mit Produktregel?

Question

Ich hab die Funktion

\( y=e^{x} \cdot \cos ^{2} x \)

gegeben, von der ich die 1. Ableitung bilden muss.

cos^2 x kann man als cos x * cos x Anschreiben und die Produktregel anwenden:

\( \begin{aligned} f=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime} &=-\sin x \cdot \cos x+\cos x \cdot(-\sin x) \\ &=2 \cos x \cdot(-\sin x) \end{aligned} \)

Dann das ganze:

\( y^{\prime}=e^{x} \cdot \cos ^{2} x+e^{x} \cdot 2 \cos x(-\sin x) \)

Stimmt die Rechnung so oder hab ich einen Fehler gemacht? :)

Answer 1

Aloha :)

Du hast richtig gerechnet. Du kannst die Produktregel aber auch direkt anwenden:$$(u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$$Auf deine 3 Produkte angewendet heißt das:$$f'(x)=\left[e^x\cdot\cos x\cdot\cos x\right]'=e^x\cos x\cos x+e^x(-\sin x)\cos x+e^x\cos x(-\sin x)$$$$\phantom{f'(x)}=e^x(\cos^2x-2\sin x\cos x)$$

Comments

Alles klar, dankeschön :)