Aloha :)
Gemäß Überschrift, geht es dir darum, Teil (a) zu zeigen. Dazu musst du zeigen, dass gilt:
$$(1)\quad \vec 0\in W$$$$(2)\quad u,v\in W\implies u+v\in W$$$$(3)\quad a\in\mathbb R\,,\,u\in W\implies a\cdot u\in W$$Anstelle von \((1)\) findet man manchmal auch die Forderung, dass \(W\ne\emptyset\), dass also \(W\) nicht leer sein darf. Wenn aber \(W\) nicht leer ist, muss wegen \((3)\) der Null-Vektor enthalten sein. Umgekehrt ist die Menge \(W\) nicht leer, wenn sie den Null-Vektor enthält.
Wir gehen die Forderungen durch:$$W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\;\left|\;x+z-2y=0\right.\}$$
(1) Der Nullvektor muss enthalten sein:$$(x,y,z)=(0,0,0)\implies x+z-2y=0+0-2\cdot0=0\implies(0,0,0)\in W\quad\checkmark$$
(2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, dazu seien \(u,v\in W\):$$(u_x+v_x)+(u_z+v_z)-2(u_y+v_y)=\underbrace{(u_x+u_z-2u_y)}_{=0\text{ nach Voraussetzung}}+\underbrace{(v_x+v_z-2v_y)}_{=0\text{ nach Voraussetzung}}=0\quad\checkmark$$
(3) Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation, dazu seien \(a\in\mathbb R\) und \(u\in W\):$$au_x+au_z-2\,au_y=a\underbrace{(u_x+u_z-2u_y)}_{=0\text{ nach Voraussetzung}}=\alpha\cdot0=0\quad\checkmark$$
Alle 3 Forderungen sind also erfüllt, \(W\) ist daher ein Untervektorraum des \(\mathbb R^3\).
