Die Ausgangsgleichung lautet ja $$ \frac{1}{2} z^2 - \frac{ 1+3i }{ 2 } z - 1 + i = 0 $$ die Gleichung mit \( 2 \) multiplizieren ergibt
$$ z^2 - (1 + 3i) z + 2 (i-1) = 0 $$ jetzt pq-Formel richtig anwenden
$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1+3i}{2} \right)^2 - 2(i - 1) } $$ Den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen ergibt
$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ 1 + 6i - 9 -8(i-1) } = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ -2i } $$
Den Ausdruck \( \sqrt{-i} \) ausrechnen.
$$ \sqrt{-i} = (-i)^\frac{1}{2} = \left( e^{-i \frac{\pi}{2} } \right) ^\frac{1}{2} = e^{-i\frac{\pi}{4} } = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) - i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) $$
Das einsetzen ergibt
$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} (1-i) $$
Also $$ z_1 = \frac{1+3i}{2} + \frac{1}{2} (1-i) = \frac{1+3i+1-i}{2} = 1+i $$
$$ z_2 = \frac{1+3i}{2} - \frac{1}{2} (1-i) = \frac{ 1+3i-1+i }{2} = 2i $$