Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel lösen.

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{2} z^{2}-\left(\frac{1+3 i}{2}\right) z-1+i=0 \)

Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Problem/Ansatz:

Hallo. Ich soll diese Aufgabe hier lösen. Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorgehe?

Answer 1

pq Formel. Sagt Dir das was?

Comments

Ja. Aber da muss ich ja die ganze Gleichung durch 0,5 Teilen.

Wie sieht das hier aus: $$\frac{1+3i}{2}$$

Und was passiert mit dem i, welches hinten allein steht?

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Ja. Aber da muss ich ja die ganze Gleichung durch 0,5 Teilen.

Und? Ist das schlimm? (Ich würde übrigens mit dem gleichen Effekt alles mal 2 rechnen - geht einfacher.

Und was passiert mit dem i, welches hinten allein steht?

Es steht nicht allein, dazu gehört auch noch davor die -1.

Das Verdoppeln der Gleichung liefert

z^2 -(1+3i) z -2+2i = 0.

Zur besseren Einpassung in die p-q-Formel schreiben wir das mal lieber als

z^2 +(-1-3i) z +(-2+2i) = 0.

Erkennst du jetzt, dass p=(-1-3i) und q=(-2+2i) gilt?

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Ja erkenne ich. Dann sollte das so aussehen:

$$-\frac{(-1-3i)}{2}±\sqrt{(\frac{-1-3i}{2})^2-(-2+2i})$$

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So sollte es mit Sicherheit nicht aussehen. Wenn du irgendeinen Wert (z.B. -p) halbieren sollst, schreibst du einen Bruchstrich darunter und unter diesen Bruchstrich die Zahl 2. Was hat dich geritten, unter den ersten Bruchstrich die Zahl -2+2i zu schreiben?
Unter die Wurzel kommt am Anfang nicht der Wert von -p/2, sondern das Quadrat dieses Wertes.

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$$\frac{-1-3i}{4}*\frac{-1-3i}{4}=\frac{1+3i+3i+9i^2}{4}=\frac{1+6i-9}{4}=0,25+1,5i-2,25$$

Das ist der Ausdruck (....)^2

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Vorne muss p/2 stehen. Dann ausmultiplizieren und vereinfachen.

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Habe es verbessert. Sorry hatte einen denkfehler.

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$$0,5-1,5i±\sqrt{0,5+3i-4,5+2-2i}$$

So jetzt vereinfache ich mal

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Bei ()^2 muss im Nenner eine 4 stehen.

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Stimmt. 2*2. Ich verbessere es.

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Wenn du einen Bruch mit dem Nenner 2 quadrierst, hat das Ergebnis den Nenner 4.

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Und was gibt (p/2)^2 im Nenner?

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$$0,5-1,5i±\sqrt{0,25+1,5i-2,25+2-2i}$$

So jetzt aber.

Das hier: $$0,25+1,5i-2,25$$

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Unter der Wurzel stehen jetzt 5 Summanden. Fasse sie zusammen, damit du die Wurzel(n) berechnen kannst.

Du hast übrigens noch einen Übertragungsfehler. Der letzte Summand in der Wurzel ist -2i.

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\(0,25+1,5i-2,25\)

Nein. Unter der Wurzel verbleiben noch -0,5i.

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$$0,5-1,5i±\sqrt{0-0,75i }=0,5-1,5i±\sqrt{-0,75i }$$

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Unter der Wurzel steht doch: $$0,25+1,5i-2,25+2-2i$$

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\(0,5-1,5i±\sqrt{0-0,75i }=0,5-1,5i±\sqrt{-0,75i }\)

Wie komme ich denn da auf -0,75i, du hast recht unter der Wurzel steht -0,5i

So: \( 0,5-1,5i±\sqrt{-0,5i }\)

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Nun finde die Zahl(en), deren Quadrat -0,5i ist.

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\( x^2=-0,5i \ |ln \)
\( ln(x^2)=ln(-0,5i) \)
\( 2ln(x)=ln(-0,5i) \)

Weiter komme ich nicht

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Mann kann doch keine Wurzel aus ein einem Wert kleiner Null ziehen...

Also hat diese Aufgabe keine lösung?

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Kann mir da jemand helfen?

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Die Ausgangsgleichung lautet ja $$ \frac{1}{2} z^2 - \frac{ 1+3i }{ 2 } z - 1 + i = 0  $$ die Gleichung mit \( 2 \) multiplizieren ergibt

$$ z^2 - (1 + 3i) z + 2 (i-1) = 0 $$ jetzt pq-Formel richtig anwenden

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1+3i}{2}  \right)^2 - 2(i - 1) } $$ Den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen ergibt

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ 1 + 6i - 9 -8(i-1) }  = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ -2i } $$

Den Ausdruck \( \sqrt{-i} \) ausrechnen.

$$ \sqrt{-i} = (-i)^\frac{1}{2} = \left( e^{-i \frac{\pi}{2} } \right) ^\frac{1}{2} = e^{-i\frac{\pi}{4} } = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) - i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) $$

Das einsetzen ergibt

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} (1-i) $$

Also $$ z_1 =  \frac{1+3i}{2} + \frac{1}{2} (1-i) =  \frac{1+3i+1-i}{2} = 1+i $$

$$ z_2 = \frac{1+3i}{2} - \frac{1}{2} (1-i) = \frac{ 1+3i-1+i }{2} =  2i $$