Question

Beweis durch vollständige Induktion:

\( 3^{2n}+7 \) ist durch \( 8 \) teilbar für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \).

Induktionsanfang wäre ja einfach für n=1 einsetzen, richtig? Also wäre das Ergebnis 16, welches durch 8 teilbar ist. Aber wie gehe ich dann weiter?

Answer 1

Hi,

Ja, das ist richtig. Sei der Induktionsanfang also schon erledigt.

Dann der Schritt (n -> n+1).

Es sei bewiesen für 3^{2n}+7 = 8*m,

dann ist auch

3²⁽ⁿ⁺¹⁾+7 = 9*3^{2n}+7 = 8*3^{2n} + 3^{2n}+7 = 8*3^{2n} + 8m = 8(3^{2n}+m)

 

Das lässt sich offensichtlich durch 8 teilen. Damit ist die Sache fertig :).

 

Grüße

Comments

Hi,erst einmal vielen Dank!

eine Frage noch; wie kommst du auf 8*m?

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m ist irgendeine natürliche Zahl (hatte ich vergessen dazu zuschreiben).

Das bedeutet einfach, dass die rechte Zahl als ein Produkt mit dem Faktor 8 darstellbar ist (wie 16 = 8*2 mit m = 2)


;)

Answer 2

Induktionsanfang ist mit n = 0, weil dort ja N0 steht.

IA: n = 0: 3^{2*0} + 7 = 3^0 + 7 = 1 + 7 = 8 durch 8 teilbar

IV: 3^{2n} + 7 durch 8 teilbar.

IS: n -> n+1:

$$3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n+2} + 7 = 3^{2n} \cdot 3^2 + 7 = 3^{2n} \cdot 9 + 7 = 3^{2n} \cdot (1 + 8) + 7$$

$$= 3^{2n} \cdot 8 + 3^{2n} + 7$$

3^{2n} + 7 ist nach IV durch 8 teilbar. Da bei 3^{2n} * 8 der Faktor 8 steht, dieser Term natürlich auch und damit der gesamte Term.