Komplexe Polynome bestimmen

Question

Weiß jemand, wie das geht?

Es sei \( p(z) \) ein komplexes Polynom und
\( \partial B_{r}(z):=\{w \in \mathbb{C}:|w-z|=r\} \)
der Kreis um \( z \) mit Radius \( r \). Zeigen Sie, dass für alle \( r>0 \) und \( z \in \mathbb{C} \),
\( \int \limits_{\partial B_{r}(z)} \overline{p(w)} \mathrm{d} w=2 \pi i r^{2} \overline{p^{\prime}(z)} \)
gilt. Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis für \( \int \limits_{\partial B_{r}(z)} p(w) \mathrm{d} w \).

Answer 1

Hallo,

- setze das Polynom als Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt z an.

- stelle das Integral für die linke Seite gemäß der Definition von Kurvenintegralen auf, mit der Standard-Parametrisierung für den Kreis.

- berechne das Integral für jeden Summanden, benutze die Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion

und fertig.

Gruß

Comments

Danke Peter!