Ermittlung des exponentionellen Wachstums aus zwei Werten

Question

Aufgabe:

Ich habe nicht den Hauch einer Ahnung wie ich anfangen soll! Darum bitte ich um Hilfestellung!

Eine Bakterienkultur enthielt nach zwei Stunden 340, nach 6 Stunden 3196 Bakterien.

a) Stelle das Wachstumsgesetz auf, wenn man annimmt, dass exponentielles Wachstum vorliegt.

b) Berechne die Verdopplungszeit.

c) Nach welcher Zeit sind 10-mal so viele Bakterien vorhanden, wie zu Beginn?

d) Wie viele Bakterien sind nach zwei Tagen vorhanden?

Problem/Ansatz:

Lösung für a) steht keine, aber bei b) 1,237h

                                                    bei c)  4,11h

                                             und bei d)  5,28 . 10 hoch 11 Bakterien ??

Answer 1

wenn man annimmt, dass exponentielles Wachstum vorliegt.

Dann hat die Funktionsgleichung die Form

        f(x) = a·q^x.

und du musst den Anfangsbestand a und den Wachstumsfaktor q bestimmen. Dazu:

nach zwei Stunden 340

In die Funktionsgleichung einsetzen ergibt

(1)        340 = a·q².

nach 6 Stunden 3196

In die Funktionsgleichung einsetzen ergibt

(2)        3196 = a·q⁶.

Löse das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen (1) und (2) besteht.

b) Berechne die Verdopplungszeit.

Löse die Gleichung

        2 = q^x,

wobei du für q den Wert verwendest, denn du bei a) bestimmt hast.

c) Nach welcher Zeit sind 10-mal so viele Bakterien vorhanden, wie zu Beginn?

Löse die Gleichung

      10 = q^x,

wobei du für q den Wert verwendest, denn du bei a) bestimmt hast.

d) Wie viele Bakterien sind nach zwei Tagen vorhanden?

Berechne f(48).

Answer 2

Eine Bakterienkultur enthielt nach zwei Stunden 340, nach 6 Stunden 3196 Bakterien.

a) Stelle das Wachstumsgesetz auf, wenn man annimmt, dass exponentielles Wachstum vorliegt.

f(x) = 340*(3196/340)^((x - 2)/4) = 110.9·e^(0.5602·x)

b) Berechne die Verdopplungszeit.

e^(0.5602·x) = 2 --> x = 1.237 Stunden

c) Nach welcher Zeit sind 10-mal so viele Bakterien vorhanden, wie zu Beginn?

e^(0.5602·x) = 10 --> x = 4.110 Stunden

d) Wie viele Bakterien sind nach zwei Tagen vorhanden?

f(48) = 110.9·e^(0.5602·48) = 52.84·10^12 Bakterien