Ermittlung des Wachstums aus zwei Werten, Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Die Keime in Kuhmilch vermehren sich exponentiell. In 1 Liter Kuhmilch waren 3 Stunden nach dem Melken 66 000 Keime, 2 Stunden später 1,1 Millionen Keime vorhanden.

a) Wie viele Keime waren es 2 Stunden nach dem Melken?

b) In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Keime?

Problem/Ansatz:

Lösungen sind mit a) 16 167 Keime und b) 0,4927 h

gegeben. Doch ich weiß nicht wie ich darauf komme.

Answer 1

a) 1,1*10^6 = 66 000*a^2

a= (1100 000/66 000)^(1/2) =4,08248

b) N(2) = 66000/a = 16167

c) 2= a^t

t= ln2/lna = 0,4927 h

Answer 2

b = (1100000/66000)^(1/2) = 5/3·√6

f(x) = 66000·(5/3·√6)^(x - 3)

a) Wie viele Keime waren es 2 Stunden nach dem Melken?

f(2) = 16167 Keime

b) In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Keime?

(5/3·√6)^x = 2 --> x = 0.4927

Answer 3

K(n) ist die Anzahl der Keime nach n Stunden. q ist der Wachstumsfaktor pro Stunde. a ist die Anzahl der Bakterien zu Beginn der Beobachtung. Dann K(n)=a·qⁿ. Laut Text gilt (1) 66000=a·q³ und (2) 1100000=a·q⁵. Dividiere (2) durch (1): 1100/66=q². Dann ist q≈4,08. Einsetzen in (1): 66000=a·4,083 nach a>0 aufgelöst: a≈967. Wachstumsfunktion: K(n)=967·4,08ⁿ. Damit kannst du beide Aufgaben lösen.