Ordnen von Funktionsscharen

Question

Text erkannt:

12. Funktionenschar Von der Funktionenschar \( f_{a}(x)=-x^{3}+3 a x^{2}(a>0) \) sind rechts die Graphen für \( a=0,5, a=1 \) und \( a=1,2 \) abgebildet.
a) Ordnen Sie die Graphen den passenden Parametern zu.
b) Berechnen sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Scharkurven in Abhängigkeit vom Parameter a.
c) Für welchen Wert von a ist die Steigung in der rechten Nullstelle von \( f_{a} \) gleich \( -1 ? \) Wie lauten die Gleichungen der Tangente \( t \) und der Normalen n an dieser Stelle?
d) Welche Funktion der Schar hat im Wendepunkt die Steigung \( 2 ? \)
e) Der Graph einer Scharkurve \( f_{\mathrm{a}} \) und die \( x \) -Achse umschließen eine Fläche A. Für welchen Wert von a hat das Flächenstück A den Inhalt \( \frac{4}{3} ? \)

Aufgabe:

Funktionenschar

Problem/Ansatz:

Ist ein neues Teilthema und kapier es nicht.

Answer 1

fa(1) = 3·a - 1

D.h. der Funktionswert bei 1 nimmt bei Steigendem a zu.

rot: a = 0.5
blau: a = 1
grün: a = 1.2

Nullstellen

f(x) = 0 --> x = 3·a ∨ x = 0

auch hierüber wäre eine Einordnung möglich gewesen.

Extrempunkte

f'(x) = 6·a·x - 3·x^2 = 0 --> x = 2·a ∨ x = 0

f(0) = 0 → TP(0 | 0)

f(2·a) = 4·a^3 → HP(2·a | 4·a^3)