Logarithmus Aufgabe vereinfachen

Question

Aufgabe:

Wie komme ich von :

\( =\sum \limits_{i=1}^{10} \log \left(\frac{\lambda^{x_{i}} e^{-\lambda}}{x_{i} !}\right) \)

Zu:

\( =\sum \limits_{i=1}^{10} x_{i} \log \lambda-\sum \limits_{i=1}^{10} \lambda-\sum \limits_{i=1}^{10} \log \left(x_{i} !\right) \)

Problem/Ansatz:

Der erste Teil ist mir klar, da log(lambda^xi) => xi * log(lambda)

Den zweiten Teil verstehe ich nicht, wieso e verschwindet.

Der letzte Teil wäre: - log(xi!) , weil wir 1/xi! haben.

Kann mir jemand den mittleren Teil erläutern, wieso e verschwindet?

Answer 1

Aloha :)

Einfach nur die Logarithmen-Gesetze anwenden:$$\ln\left(\frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}\right)=\ln\left(\lambda^{x_i}e^{-\lambda}\right)-\ln\left(x_i!\right)=\ln\left(\lambda^{x_i}\right)+\ln\left(e^{-\lambda}\right)-\ln\left(x_i!\right)$$$$=x_i\ln\left(\lambda\right)-\lambda\cdot\underbrace{\ln\left(e\right)}_{=1}-\ln\left(x_i!\right)$$Jetzt noch alles mit dem Summenzeichen dekorieren und du hast die Umformung ;)

Answer 2

Es ist immer log(e^y) = y und somit log(e^(-λ) = -λ