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ich verstehe folgende Umformung nicht :


Aufgabe 9.4 (5 Punkte): Seien ( \( X_{n} \) ) \( _{n \in \mathbb{N}} \) unabhängige, auf dem Intervall [1,2] uniform verteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie die Existenz und berechnen Sie den Wert einer Konstanten \( c \in \mathbb{R} \), sodass
$$ \prod \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{1 / n} \rightarrow c \text { f.s., } n \rightarrow \infty $$
\mathrm{Hinweis: } \( \prod \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{1 / n}=\exp \left(\log \left(\prod \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{1 / n}\right)\right) ; \) Gesetz der groBen Zahlen.
Lüsung: Wir formen um:
$$ \prod \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{1 / n}=\exp \left(\log \left(\prod \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{1 / n}\right)\right)=\exp \left(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} \log \left(X_{i}\right)\right) $$


Wie kommen die von der Multiplikation auf die Summe?


Vielen lieben Dank im Voraus

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1 Antwort

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Hallo

das ist einfach das log Gesetz: log(a*b)=log(a)+log(b)

du erkennst es sicher wieder, wenn es nur 2 Faktoren sind!

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Vielen Dank, kannst Du mir vielleicht noch erklären, wie das 1/n als Vorfaktor zu stande kommt ?

Hallo

kann ich: log(x^r)=r*log(x) auch das kanntest du sicher?

Gruß lul

Ebenso, das 1/n ist die 1/n te wurzel.

Rechengesetze mit Logaritmen

Das Geometrische Mittel, wird zum Arithmetischen Mittel.

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