Man zeige: Ist x rational, so hat die Folge nur endlich viele Häufungspunkte

Question

Aufgabe:

Aufgabe: Die Folge (an )n∈ℕ sei definiert durch
(an(x)):=nx−⌊nx⌋ für alle n∈ℕ

Man zeige: Ist x rational, so hat die Folge nur endlich viele Häufungspunkte

Problem/Ansatz:

man kann x= p/q wählen, mehr weiß ich leider nicht, ich habe es versucht, indem ich werte für p,q und n einsetzte habe aber nicht weiter gewusst wie man weiter machen sollte

Answer 1

Sei r_n der Rest bei der ganzzahligen Division von np durch q.

Dann ist

        n·p/q = ⌊n·p/q⌋ + r_n/q,

also

        a_n(p/q) = ⌊n·p/q⌋ + r_n/q - ⌊n·p/q⌋ = r_n/q.

Dividert man n·p mit Rest durch q, dann können nur endlich viele Zahlen als Rest auftreten, nämlich 0, 1, ..., q-1. Die Wertemenge der Folge ist deshalb endlich. Also ist auch die Menge der Häufungspunkte endlich.

Comments

Mehr muss man nicht zeigen?