Aufgabe:
Sei \( \alpha \in \mathbb{Q} \) kein Quadrat in \( \mathbb{Q}, \) d.h. für alle \( q \in \mathbb{Q} \) gelte \( \alpha \neq q^{2} . \) Auf
$$ K_{\alpha}:=\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1} \in \mathbb{Q} \wedge x_{2} \in \mathbb{Q}\right\} $$
definieren wir Addition und Multiplikation wie folgt:
$$ \begin{array}{ll} +\alpha: K_{\alpha} \times K_{\alpha} \longrightarrow K_{\alpha} & \left(x_{1}, x_{2}\right)+_{\alpha}\left(y_{1}, y_{2}\right):=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) \\ \bullet_{\alpha}: K_{\alpha} \times K_{\alpha} \longrightarrow K_{\alpha} & \left(x_{1}, x_{2}\right) \bullet_{\alpha}\left(y_{1}, y_{2}\right):=\left(x_{1} y_{1}+\alpha x_{2} y_{2}, x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \end{array} $$
Dabei bezeichnen \( x_{1}+y_{1} \) und \( x_{1} y_{1} \) die Addition bzw. die Multiplikation in \( \mathbb{Q} \).
(a) Betrachte für \( \alpha>0 \) die folgende Teilmenge der reellen Zahlen:
$$ M_{\alpha}=\left\{x_{1}+x_{2} \sqrt{\alpha} \mid x_{1} \in \mathbb{Q} \wedge x_{2} \in \mathbb{Q}\right\} \subset \mathbb{R} $$
Welcher Zusammenhang besteht zwischen \( M_{\alpha} \) und \( K_{\alpha} \) mit den obigen Verknüpfungen?
(b) Zeige, dass \( \left(K_{\alpha},+_{\alpha}, \bullet_{\alpha}\right) \) ein Körper ist (unabhängig vom Vorzeichen von \( \alpha \) ). Gib insbesondere das neutrale Element bezüglich der Multiplikation \( \bullet_{\alpha} \) und die inversen Elemente bezüglich \( \bullet_{\alpha} \) an. Warum ist es dabei wichtig, dass \( \alpha \) kein Quadrat in \( \mathbb{Q} \) ist?
(c) Sei \( \alpha>0 . \) Wie kann man in diesem Fall eine Ordnung \( <_{\alpha} \) auf \( K_{\alpha} \) konstruieren, sodass \( K_{\alpha} \) ein angeordneter Körper ist? Gibt es mehrere Möglichkeiten \( K_{\alpha} \) anzuordnen?
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht, was ich machen soll und wie man überhaupt solche Aufgaben löst.
