Aloha :)
Wir substituieren \(x:=\sin(u)\), dann ist \(\frac{dx}{du}=\cos(u)\) bzw. \(dx=\cos(u)\,du\).
Wir nutzen noch die Umkehrfunktion, um die Grenzen des neuen Integrals über \(du\) zu bestimmen:$$u(x)=\arcsin(x)$$$$u(-a)=u\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\sin\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{\pi}{4}$$$$u(+a)=u\left(+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\sin\left(+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=+\frac{\pi}{4}$$Damit lautet die Substitution:
$$\int\limits_{-\sqrt{1/2}}^{+\sqrt{1/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx=\int\limits_{-\pi/4}^{+\pi/4}\sqrt{1-\sin^2(u)}\,\cos(u)\,du=\int\limits_{-\pi/4}^{+\pi/4}\cos^2(u)\,du$$Hierbei wurde \(\sin^2u+\cos^2u=1\) bzw. \(1-\sin^2u=\cos^2u\) verwendet. Die Integrale aus der Aufgabenstellung sind also nicht gleich. Die neuen Integrationsgrenzen haben nämlich keine Wurzel.
