Gleichheit zweier Lösungsmengen zeigen

Question

Hallo, ich habe zwei Lösungsmengen:

(3, 1 ,0)+λ(1, -1, 1)

(4,0,1)+x(-1,1,-1)

Ich muss nachrechnen, ob beide Lösungsmengen gleich sind. Wie muss ich das machen? Muss ich beide gleichsetzen?

Answer 1

Der Richtungsvektor der ersten Gerade ist ein skalares Vielfaches \(\neq 0\) des

zweiten. Die beiden Mengen stellen also parallele Geraden dar oder

dieselbe. Nun muss man nur noch zeigen, dass der Aufpunkt der ersten

auf der zweiten liegt, oder der Aufpunkt der zweiten auf der ersten liegt

oder die beiden einen anderen gemeinsamen Punkt besitzen;

denn dann sind die Geraden gleich

Answer 2

Aloha :)

Ich würde die eine Geradengleichung in die andere umwandeln:$$\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+(\lambda-1)\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\,\underbrace{-(\lambda-1)}_{\eqqcolon\mu}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Da \(\lambda\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kann auch \(\mu\coloneqq-(\lambda-1)\) beliebig aus \(\mathbb R\) gewählt werden.

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