Unstetigkeit bzw Stetigkeit beweisen

Question

Betrachte für \( a, b \in \mathbb{R} \) die Funktion
\( f_{a, b}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{a, b}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-6 x+b}{\sqrt{(x-3)^{2}+16 y^{2}}} & \text { für }(x, y) \neq(3,0) \\ a & \text { für }(x, y)=(3,0) \end{array}\right. \)
a) Zeige, dass \( f \) mit der Wahl \( a=0 \) und \( b=0 \) unstetig ist.

b) Bestimme \( a, b \in \mathbb{R} \) so, dass \( f_{a, b} \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) stetig wird, und weise die Stetigkeit für diesen Fall nach.

Zu a) Ich habe die Folge x_n(3, 1/n) ausgewählt, mein Problem jedoch ist, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(x_n)= 0 = f(3,0), dies würde doch heißen, dass f im Punkt (3,0) gleich stetig ist oder nicht? Bin etwas verwirrt, was mache ich falsch? Dankeschön für eure Hilfe.

Answer 1

Hallo,

a) wähle \((a_n)_n=(3+1/n,1/n)_n\).

b) \(a=0\) und \(b=9\).