Den Hinweis finde ich nicht so nützlich (gehört der vielleicht
zu einem anderen Aufgabenteil ? ).
Um zu zeigen, dass eine Teilmenge M eines kommutativen
Ringes (R,+,*) ein Idealist, muss man drei Dinge zeigen:
1. 0∈M
2. Für alle x,y ∈M gilt x+y ∈M
3. Für alle x∈M und a∈R gilt a*x ∈M
Sei nun alles so wie in der Aufgabe beschrieben, dann ist zu zeigen
1. 0∈ f^(-1)(J) also zu prüfen: Ist 0 ein Element von R, für welches
f(0)∈J gilt. Dem ist so, weil f ein Homomorphismus ist und
für diese gilt immer f(0)=0 und 0∈J weil J ein Ideal ist.
2. Seien x,y ∈ f^(-1)(J) . Dann gibt es p∈J und q ∈J mit f(p)=x und
f(q)=y . Dann ist p+q ∈J weil J ein Ideal ist. Also ist
f(p+q) ∈ f^(-1)(J). Und es gilt
f(p+q) = f(p)+f(q) weil f ein Homomorphismus ist.
Also x+y ∈ f^(-1)(J).
3. Ähnlich wie bei 2. kannst du auch begründen:
Für alle x∈ f^(-1)(J) und a∈R gilt a*x ∈ f^(-1)(J).