Ringhomomorphismus und kommutativer Ring

Question

Aufgabe:

1)Es sei (R, +R, ·R) ein kommutativer Ring. Zeigen Sie:

Ist (S, +S, ·S) ein weiterer kommutativer Ring, f : R → S ein Ringhomomorphismus und J ⊂ S
ein Ideal in S, so ist f
−1
(J) = {r ∈ R | f(r) ∈ J} ein Ideal in R.
Hinweis: Sind f : R → S und g : S → T Ringhomomorphismen, so ist deren Komposition
g ◦ f : R → T,(g ◦ f)(x) := g(f(x)) auch ein Ringhomomorphismus.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das nicht. Könnte mir vielleicht jemand ein Ansatz geben?

Answer 1

Den Hinweis finde ich nicht so nützlich (gehört der vielleicht

zu einem anderen Aufgabenteil ? ).

Um zu zeigen, dass eine Teilmenge M eines kommutativen
Ringes (R,+,*) ein Idealist, muss man drei Dinge zeigen:

1.     0∈M
2. Für alle x,y ∈M gilt x+y ∈M
3.  Für alle x∈M  und a∈R  gilt a*x ∈M

Sei nun alles so wie in der Aufgabe beschrieben, dann ist zu zeigen

1. 0∈ f^(-1)(J) also zu prüfen: Ist 0 ein Element von R, für welches
              f(0)∈J gilt. Dem ist so, weil f ein Homomorphismus ist und
                      für diese gilt immer f(0)=0 und 0∈J weil J ein Ideal ist.

2. Seien x,y ∈ f^(-1)(J) . Dann gibt es p∈J und q ∈J  mit f(p)=x und
          f(q)=y . Dann ist p+q ∈J weil J ein Ideal ist. Also ist
                     f(p+q) ∈ f^(-1)(J).   Und es gilt
                    f(p+q) = f(p)+f(q) weil f ein Homomorphismus ist.
                         Also x+y ∈ f^(-1)(J).

3. Ähnlich wie bei 2. kannst du auch begründen:
           Für alle x∈ f^(-1)(J) und a∈R gilt a*x ∈ f^(-1)(J).