Substitutionsaufgabe für ein Integral

Question

es geht um folgende Aufgabe:

Berechne per Substitution folgendes Integral (a,b > 0):

\( \int\limits_{a}^{b} x*ln(x^2) dx \)

Existiert dieses Integral auch für a = 0 und b= 1?

Benötige leider Hilfe, könnte jemand helfen?

Answer 1

Text erkannt:

"Berechne per Substitution folgendes Integral \( (a, b>0)^{n} \)
Weg ohne Grenzen:
\( \int x \cdot \ln \left(x^{2}\right) \cdot d x \)
Substitution:
\( \ln \left(x^{2}\right)=u \)
\( e^{\ln \left(x^{2}\right)}=e^{u} \)
\( x^{2}=e^{u} \)
1.) \( x_{1}=\sqrt{e^{u}} \)
2.) \( x_{2}=-\sqrt{e^{u}} \)
\( d x=\frac{e^{u}}{2 \cdot \sqrt{e^{u}}} \cdot d u \)
\( \int \sqrt{e^{u}} \cdot u \cdot \frac{e^{u}}{2 \cdot \sqrt{e^{u}}} \cdot d u=\frac{1}{2} \int u \cdot e^{u} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot\left[e^{u} \cdot(u-1)\right]+C \)
Rücksubstitution:
\( \left.\frac{1}{2} \cdot\left[e^{\ln \left(x^{2}\right)} \cdot\left(\ln \left(x^{2}\right)-1\right)\right]+C=\frac{1}{2} \cdot\left[x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}\right)-1\right)\right]+C \)
\( 2.2 \ldots \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

PS: " Existiert dieses Integral auch für a = 0 und b= 1? " →  a soll größer als 0 sein

Answer 2

∫ x·LN(x^2) dx = 1/2·x^2·LN(x^2) - ∫ 1/2·x^2·1/x^2·2x dx

∫ x·LN(x^2) dx = 1/2·x^2·LN(x^2) - ∫ x dx

∫ x·LN(x^2) dx = 1/2·x^2·LN(x^2) - 1/2·x^2 + C

∫ x·LN(x^2) dx = 1/2·x^2·(LN(x^2) - 1) + C

∫ (a bis b) x·LN(x^2) dx = 1/2*b^2·(LN(b^2) - 1) - 1/2*a^2·(LN(a^2) - 1)