Welche der folgenden Funktionen f : R → R sind bijektiv? Begründen

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen f : R → R sind injektiv? Welche sind surjektiv? Welche sind bijektiv?

c) f(x) = x², x ≥ 0

           x, x < 0.

Problem:

Ok, ich glaube es ist bijektiv aber wie kann ich es begründen?

Answer 1

Zeige injektiv: Wenn a , b ∈ R das gleiche Bild haben, dann

sind sie gleich. Seien also a , b ∈ R mit f(a) = f(b) .

1. Fall : beide kleiner 0. dann gilt

f(a) = f(b) ==>  a = b (nach Def. von f )

2. Fall : Einer ( o.B.d.A das a) kleiner der andere größer oder gleich 0.

Also a<0 und b≥0 .

==>  f(a) = a und f(b) = b^2 , also a = b^2.

Wegen a < 0 kann  a=b^2 nicht gelten, denn Quadrate sind nie kleiner

als 0.  Fall tritt also nicht ein.

3. Fall: beide nicht negativ.

Dann gilt f(a) = f(b) ==>    a^2 = b^2 ==>  |a| = |b| .

Da beide nicht negativ, also a=b.

Somit gilt immer : f(a) = f(b) ==>  a=b ,

also f injektiv.

surjektiv:  Sei y∈ℝ.

1. Fall y<0 ==> Es gibt ein x mit f(x) = y , nämlich x=y.

2. Fall y≥0 ==>  Es gibt x=√y und für dieses x gilt f(x)=y. q.e.d.

Comments

´Geben Sie eine Abbildung f : R → R und eine Teilmenge A von R an, so dass diese Inklusion echt ist, d.h. so dass gilt A f⁻¹(f(A)).´

Könnten Sie für diese auch helfen?

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f: x→ x^2

A={1,2}
f(A) = {1,4} 
f^(-1)(f(A)) = {1,2,-1,-2}