Steige Funktionen und Grenzwerte von Folgen

Question

Aufgabe:Für eine stetige Fkt. und eine Folge von Zahlen (an) n mit an→∞ gilt: lim(n→∞) f(an) = f(a).

Problem/Ansatz:so richtig klar ist mir das nicht. Es gilt also für eine stetige Fkt. und eine Folge z. B. (a1) 1,(a2)2...(an)n mit an→∞ lim(an→∞) f(an) = f(a). Hier steht also z. B. f(a2) = f(a). Das leuchtet mir zumindest im Moment nicht so ganz ein.

Comments

f(an) = f(a)

Was ist a?

Answer 1

Für eine stetige Fkt. und eine Folge von Zahlen (an) n mit an→∞ gilt: lim(n→∞) f(an) = f(a).

Anders ausgedrückt: Ist f stetig und (a_n)_n∈ℕ eine Folge die gegen ∞ divergiert, dann konvergiert die Folge (f(a_n))_n∈ℕ gegen f(a).

Answer 2

Das soll sicher heißen:

Für eine stetige Fkt. und eine Folge von Zahlen (an) n mit

an →a für n→∞ gilt: lim(n→∞) f(an) = f(a).

Stell dir mal eine einfache stetige Funktion vor wie z.B f(x)=x^2

und betrachte die Stelle x=2, Da ist f(2)=4

Und berechne nun die Funktionswerte für

x₁ = 2,1     x₂=2,01  x₃=2,001 etc.

Die x-Werte konvergieren gegen 2 und die Folge der Funktionswerte

konvergiert gegen f(2)=4.

Wenn eine Funktion aber an einer Stelle NICHT stetig ist, etwa wie

f(x)  =   x^2 - 1    für x≤2  und
            x^2       für x>2

und du machst das gleiche wie oben, dann konvergiert wieder die

Folge der Funktionswerte gegen 4 , aber das ist nicht gleich f(2)=3,

weil eben an dieser Stelle ein "Sprung" im Funktionsgraphen ist, was ja gerade

die Unstetigkeit an dieser Stelle ausmacht.

Comments

Das ist mit schon klar. Das bedeutet eigentlich, daß es sich um eine konstante Funktion handeln muss, falls f(an) = f(a). Könnte es sein, dass es sich hierbei um Folgenstetigkeit handelt, die jedoch nur bei konstanten Folgen bzw. Funktionen zutrifft. Das hört sich für mich trotzdem komisch an. Das ist für mich aber die einzige Erklärung im Moment.

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Also ich habe das so interpretiert

Für eine stetige Fkt. und eine Folge von

Zahlen (an) _n∈ℕ mit $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$$

gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(a)$$

und das ist das Folgenkriterium für Stetigkeit.

Und ich hatte gedacht, dass ihr das mit

Hilfe der ε-δ Definition beweisen sollt.