Nullstellen ganzrationaler Funktionen: f(x) = (x²-4)*(x²-3x+6) und g(x) = -x^4+26x²-72

Question

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:

A) f(x) = (x² - 4) * (x² -3x+6)

B) g(x) = -x°^4 + 26x² -72

C) Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie.

Answer 1

A) Ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist, also ist f(x) = 0, wenn

x² - 4 = 0

oder

x²-3x+6 = 0

 

i) x²-4 = 0

x² = 4

x = ± 2

ii) x²-3x+6 = 0

x_1/2 = 3/2 ± √(9/4-6) = 3/2 ± √(-15/4)
Keine weiteren Lösungen, da Wurzeln aus negativen Zahlen auf ℝ nicht definiert sind.

Also sind die einzigen Nullstellen x = 2 und x = -2.

 

B) g(x) = -x⁴ + 26x²-72

0 = -x⁴ + 26x² - 72

Substituiere: y = x²

0 = -y² + 26y - 72  |*(-1)

0 = y² - 26y + 72

y_1/2 = 13 ± √(169-72) = 13 ± √97

Da alle Werte für y positiv sind, erhält man für x vier Lösungen:

x₁ = √(13 + √97) ≈ 4.78
x₂ = -√(13 + √97) ≈ -4.78
x₃ = √(13 - √97) ≈ 1.78
x₄ = -√(13 - √97) ≈ -1.78

 

C) Ich weiß nicht wie ihr Symmetrie behandelt habt. Man kann zum Beispiel f(x) und f(-x) für Achsensymmetrie vergleichen oder -f(x) und f(-x) für Punktsymmetrie zum Ursprung, beides ist hier nicht der Fall.

Oder man vergleicht die Potenzen und stellt nach dem Ausmultiplizieren fest, dass weder nur gerade noch nur ungerade Potenzen von x auftreten, die Funktion besitzt also keine Symmetrie zum Koordinatensystem.